論文の概要: Kernel-based Stochastic Approximation Framework for Nonlinear Operator Learning

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2509.11070v1
• Date: Sun, 14 Sep 2025 03:33:36 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-09-16 17:26:22.897157
• Title: Kernel-based Stochastic Approximation Framework for Nonlinear Operator Learning
• Title（参考訳）: 非線形演算子学習のためのカーネルに基づく確率近似フレームワーク
• Authors: Jia-Qi Yang, Lei Shi,
• Abstract要約: 一般メルサー作用素値カーネルを用いた無限次元空間間の近似フレームワークを開発する。 この枠組みでは, 非線形演算子学習が次元性の呪いを克服できることを実証し, 次元自由収束率を確立する。 このフレームワークは、積分演算子からエンコーダ-デコーダ表現に基づくアーキテクチャまで、幅広い演算子学習タスクに対応している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 7.820614736576814
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We develop a stochastic approximation framework for learning nonlinear operators between infinite-dimensional spaces utilizing general Mercer operator-valued kernels. Our framework encompasses two key classes: (i) compact kernels, which admit discrete spectral decompositions, and (ii) diagonal kernels of the form $K(x,x')=k(x,x')T$, where $k$ is a scalar-valued kernel and $T$ is a positive operator on the output space. This broad setting induces expressive vector-valued reproducing kernel Hilbert spaces (RKHSs) that generalize the classical $K=kI$ paradigm, thereby enabling rich structural modeling with rigorous theoretical guarantees. To address target operators lying outside the RKHS, we introduce vector-valued interpolation spaces to precisely quantify misspecification error. Within this framework, we establish dimension-free polynomial convergence rates, demonstrating that nonlinear operator learning can overcome the curse of dimensionality. The use of general operator-valued kernels further allows us to derive rates for intrinsically nonlinear operator learning, going beyond the linear-type behavior inherent in diagonal constructions of $K=kI$. Importantly, this framework accommodates a wide range of operator learning tasks, ranging from integral operators such as Fredholm operators to architectures based on encoder-decoder representations. Moreover, we validate its effectiveness through numerical experiments on the two-dimensional Navier-Stokes equations.
• Abstract（参考訳）: 一般メルサー演算子評価カーネルを用いた無限次元空間間の非線形演算子学習のための確率近似フレームワークを開発した。 私たちのフレームワークには2つの重要なクラスがあります。 (i)離散スペクトル分解を許容するコンパクトカーネル、及び (ii) $K(x,x')=k(x,x')T$, ここで$k$はスカラー値のカーネルであり、$T$は出力空間上の正の作用素である。 この広い設定は、古典的な$K=kI$パラダイムを一般化する表現的ベクトル値再生カーネルヒルベルト空間(RKHS)を誘導し、厳密な理論的保証を伴うリッチな構造モデリングを可能にする。 RKHSの外にあるターゲット演算子に対処するため、ベクトル値補間空間を導入し、誤特定誤差を正確に定量化する。 この枠組みでは, 非線形演算子学習が次元性の呪いを克服できることを実証し, 次元自由多項式収束率を確立する。 さらに、一般作用素値カーネルを用いることで、K=kI$の対角構造に固有の線形型挙動を超えて、本質的に非線形な作用素学習の速度を導出することができる。 このフレームワークは、Fredholm演算子のような積分演算子から、エンコーダ-デコーダ表現に基づくアーキテクチャまで、幅広い演算子学習タスクに対応している。 さらに,2次元Navier-Stokes方程式の数値実験により,その有効性を検証する。

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