論文の概要: Bayesian Parametric Matrix Models: Principled Uncertainty Quantification for Spectral Learning

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2509.12406v1
• Date: Mon, 15 Sep 2025 19:52:35 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-09-17 17:50:52.746609
• Title: Bayesian Parametric Matrix Models: Principled Uncertainty Quantification for Spectral Learning
• Title（参考訳）: ベイズパラメトリック行列モデル:スペクトル学習のための原理的不確実性定量化
• Authors: Mohammad Nooraiepour,
• Abstract要約: 本稿では,パラメータ行列モデルを拡張して不確実性推定を行う原理的フレームワークを提案する。 提案するフレームワークは、不確実性臨界領域における堅牢なスペクトル学習をサポートする。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
• Abstract: Scientific machine learning increasingly uses spectral methods to understand physical systems. Current spectral learning approaches provide only point estimates without uncertainty quantification, limiting their use in safety-critical applications where prediction confidence is essential. Parametric matrix models have emerged as powerful tools for scientific machine learning, achieving exceptional performance by learning governing equations. However, their deterministic nature limits deployment in uncertainty quantification applications. We introduce Bayesian parametric matrix models (B-PMMs), a principled framework that extends PMMs to provide uncertainty estimates while preserving their spectral structure and computational efficiency. B-PMM addresses the fundamental challenge of quantifying uncertainty in matrix eigenvalue problems where standard Bayesian methods fail due to the geometric constraints of spectral decomposition. The theoretical contributions include: (i) adaptive spectral decomposition with regularized matrix perturbation bounds that characterize eigenvalue uncertainty propagation, (ii) structured variational inference algorithms using manifold-aware matrix-variate Gaussian posteriors that respect Hermitian constraints, and (iii) finite-sample calibration guarantees with explicit dependence on spectral gaps and problem conditioning. Experimental validation across matrix dimensions from 5x5 to 500x500 with perfect convergence rates demonstrates that B-PMMs achieve exceptional uncertainty calibration (ECE < 0.05) while maintaining favorable scaling. The framework exhibits graceful degradation under spectral ill-conditioning and provides reliable uncertainty estimates even in near-degenerate regimes. The proposed framework supports robust spectral learning in uncertainty-critical domains and lays the groundwork for broader Bayesian spectral machine learning.
• Abstract（参考訳）: 科学機械学習は、物理システムを理解するためにスペクトル法をますます利用している。 現在のスペクトル学習アプローチは、不確実な定量化なしに点推定のみを提供し、予測信頼性が不可欠である安全クリティカルなアプリケーションでの使用を制限する。 パラメトリック行列モデルは、科学的な機械学習のための強力なツールとして登場し、支配方程式を学習することで例外的な性能を達成する。 しかし、その決定論的性質は不確実な定量化アプリケーションにおける展開を制限する。 ベイズパラメトリック行列モデル(B-PMMs)は、スペクトル構造と計算効率を保ちつつ、不確実性推定を提供するためにPMMを拡張した原理的フレームワークである。 B-PMMは、スペクトル分解の幾何学的制約により標準ベイズ法が失敗する行列固有値問題における不確かさの定量化という根本的な課題に対処する。 理論的貢献は以下のとおりである。 一 固有値不確実性伝播を特徴付ける正規化行列摂動境界による適応スペクトル分解 (II) エルミート制約を尊重する多様体対応行列変数ガウス後部を用いた構造的変分推論アルゴリズム、および 3)有限サンプル校正は、スペクトルギャップと問題条件に明示的に依存することを保証する。 完全収束率5x5から500x500までの行列次元の実験的検証は、B-PMMsが優れたスケーリングを維持しながら異常不確実性校正(ECE < 0.05)を達成することを示した。 この枠組みはスペクトル条件下での優雅な劣化を示し、ほぼ退化状態においても確実な不確実性推定を提供する。 提案フレームワークは、不確実な領域における堅牢なスペクトル学習をサポートし、ベイズスペクトル機械学習の基盤となる。

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