論文の概要: New Insights into Involutory and Orthogonal MDS Matrices

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.05766v1
• Date: Tue, 07 Oct 2025 10:35:20 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-10-08 17:57:08.205246
• Title: New Insights into Involutory and Orthogonal MDS Matrices
• Title（参考訳）: インボリュート・直交型MDS行列の新しい考え方
• Authors: Yogesh Kumar, Susanta Samanta, Atul Gaur,
• Abstract要約: MDS行列はブロック暗号とハッシュ関数の拡散層の設計において重要な役割を果たす。 半インボルタリー行列と非インボルタリー行列の間の非自明な相互接続を示す。 半インボリュートリーMDS行列と半直交MDS行列の3倍の算定式を示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.9947454698470526
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: MDS matrices play a critical role in the design of diffusion layers for block ciphers and hash functions due to their optimal branch number. Involutory and orthogonal MDS matrices offer additional benefits by allowing identical or nearly identical circuitry for both encryption and decryption, leading to equivalent implementation costs for both processes. These properties have been further generalized through the notions of semi-involutory and semi-orthogonal matrices. Specifically, we establish nontrivial interconnections between semi-involutory and involutory matrices, as well as between semi-orthogonal and orthogonal matrices. Exploiting these relationships, we show that the number of semi-involutory MDS matrices can be directly derived from the number of involutory MDS matrices, and vice versa. A similar correspondence holds for semi-orthogonal and orthogonal MDS matrices. We also examine the intersection of these classes and show that the number of $3 \times 3$ MDS matrices that are both semi-involutory and semi-orthogonal coincides with the number of semi-involutory MDS matrices over $\mathbb{F}_{2^m}$. Furthermore, we derive the general structure of orthogonal matrices of arbitrary order $n$ over $\mathbb{F}_{2^m}$. Based on this generic form, we provide a closed-form expression for enumerating all $3 \times 3$ orthogonal MDS matrices over $\mathbb{F}_{2^m}$. Finally, leveraging the aforementioned interconnections, we present explicit formulas for counting $3 \times 3$ semi-involutory MDS matrices and semi-orthogonal MDS matrices.
• Abstract（参考訳）: MDS行列は、ブロック暗号とハッシュ関数の拡散層の設計において、最適な分岐数のために重要な役割を果たす。 インボリュートと直交のMDS行列は、暗号化と復号の両方に同一またはほぼ同一の回路を許すことで、両方のプロセスに同等な実装コストをもたらす。 これらの性質は半帰納的行列と半直交行列の概念によってさらに一般化された。 具体的には、半直交行列と直交行列、および半直交行列と直交行列との間の非自明な相互接続を確立する。 これらの関係を展開することにより, 半インボリュートなMDS行列の数は, インボリュートなMDS行列の数から直接導き出すことができ, その逆も引き起こせることを示す。 同様の対応は半直交および直交のMDS行列に対して成り立つ。 また、これらのクラスの交叉を調べた結果、半インボリュータリー行列と半直交行列の両方である3 = 3$ MDS行列の数は、$\mathbb{F}_{2^m}$を超える半インボリュータリー行列の個数と一致することを示した。 さらに、任意の位数$n$ over $\mathbb{F}_{2^m}$の直交行列の一般構造を導出する。 この一般化形式に基づき、$\mathbb{F}_{2^m}$ 上の 3$ の直交 MDS 行列を列挙する閉形式式を提供する。 最後に、上記の相互接続を利用して、半インボリュータリーMDS行列と半直交MDS行列を3ドル3セントでカウントする公式を提示する。

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