論文の概要: Fisher-Geometric Diffusion in Stochastic Gradient Descent: Optimal Rates, Oracle Complexity, and Information-Theoretic Limits

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.02417v1
• Date: Mon, 02 Mar 2026 21:57:09 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-03-04 21:38:10.554221
• Title: Fisher-Geometric Diffusion in Stochastic Gradient Descent: Optimal Rates, Oracle Complexity, and Information-Theoretic Limits
• Title（参考訳）: 確率的グラディエントDescentにおけるフィッシャー-幾何学的拡散-最適速度、オラクル複雑度、情報理論限界-
• Abstract要約: そこで我々は,ミニバッチノイズが本質的,損失誘起行列である勾配降下理論を開発した。 我々はフィッシャー双対ノルムにおけるエクシロン定常性に対するオラクル-複素性保証を証明した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We develop a Fisher-geometric theory of stochastic gradient descent (SGD) in which mini-batch noise is an intrinsic, loss-induced matrix -- not an exogenous scalar variance. Under exchangeable sampling, the mini-batch gradient covariance is pinned down (to leading order) by the projected covariance of per-sample gradients: it equals projected Fisher information for well-specified likelihood losses and the projected Godambe (sandwich) matrix for general M-estimation losses. This identification forces a diffusion approximation with Fisher/Godambe-structured volatility (effective temperature tau = eta/b) and yields an Ornstein-Uhlenbeck linearization whose stationary covariance is given in closed form by a Fisher-Lyapunov equation. Building on this geometry, we prove matching minimax upper and lower bounds of order Theta(1/N) for Fisher/Godambe risk under a total oracle budget N; the lower bound holds under a martingale oracle condition (bounded predictable quadratic variation), strictly subsuming i.i.d. and exchangeable sampling. These results imply oracle-complexity guarantees for epsilon-stationarity in the Fisher dual norm that depend on an intrinsic effective dimension and a Fisher/Godambe condition number rather than ambient dimension or Euclidean conditioning. Experiments confirm the Lyapunov predictions and show that scalar temperature matching cannot reproduce directional noise structure.
• Abstract（参考訳）: 我々は,小型バッチノイズが内在的,損失誘発行列である確率勾配勾配(SGD)のフィッシャー幾何学的理論を開発し,外因性スカラー分散ではない。 交換可能なサンプリングの下では、最小バッチ勾配の共分散は、サンプルごとの勾配の予測共分散によって(先行順に)ピン留めされる:それは、よく特定された可能性損失に対して予測されたフィッシャー情報と、一般的なM推定損失に対する予測されたゴダムベ行列とを等しくなる。 この同定はフィッシャー/ゴダム構造ボラティリティ(有効温度タウ = eta/b)との拡散近似を強制し、定常共分散がフィッシャー=リャプノフ方程式によって閉じた形で与えられるオルシュタイン=ウレンベック線型化を与える。 この幾何学に基づいて、総オラクル予算 N の下でフィッシャー/ゴダムベリスクの最小値と下位値の最小値(1/N) が一致することを証明し、下限はマーチンゲールオラクル条件(有界予測可能な二次変動)の下で保持し、厳密に従属し、交換可能なサンプリングを行う。 これらの結果は、環境次元やユークリッド条件よりも本質的な有効次元とフィッシャー/ゴダム条件数に依存するフィッシャー双対ノルムにおいて、オラクル-複素性はエプシロン-定常性を保証することを意味する。 実験では、リアプノフ予測を確認し、スカラー温度マッチングが指向性雑音構造を再現できないことを示す。

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