論文の概要: Bayesian Modeling of Collatz Stopping Times: A Probabilistic Machine Learning Perspective

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.04479v1
• Date: Wed, 04 Mar 2026 17:16:49 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-03-06 22:06:10.917175
• Title: Bayesian Modeling of Collatz Stopping Times: A Probabilistic Machine Learning Perspective
• Title（参考訳）: Collatz停止時間のベイジアンモデリング:確率論的機械学習の視点から
• Authors: Nicolò Bonacorsi, Matteo Bordoni,
• Abstract要約: 経験的に、$(n)$ はスキュー数で非常に分散した数であり、算術的不均一性を示す。 我々は2つの補完モデルを開発する。 奇ブロック分解に基づく機械論的近似は、ディリクレ・マルチノミカル更新による校正近似をもたらす。 ホールドアウトデータでは、NB2-GLMは奇ブロック発生器よりも予測確率がかなり高い。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We study the Collatz total stopping time $τ(n)$ over $n\le 10^7$ from a probabilistic machine learning viewpoint. Empirically, $τ(n)$ is a skewed and heavily overdispersed count with pronounced arithmetic heterogeneity. We develop two complementary models. First, a Bayesian hierarchical Negative Binomial regression (NB2-GLM) predicts $τ(n)$ from simple covariates ($\log n$ and residue class $n \bmod 8$), quantifying uncertainty via posterior and posterior predictive distributions. Second, we propose a mechanistic generative approximation based on the odd-block decomposition: for odd $m$, write $3m+1=2^{K(m)}m'$ with $m'$ odd and $K(m)=v_2(3m+1)\ge 1$; randomizing these block lengths yields a stochastic approximation calibrated via a Dirichlet-multinomial update. On held-out data, the NB2-GLM achieves substantially higher predictive likelihood than the odd-block generators. Conditioning the block-length distribution on $m\bmod 8$ markedly improves the generator's distributional fit, indicating that low-order modular structure is a key driver of heterogeneity in $τ(n)$.
• Abstract（参考訳）: 我々はコラッツ総停止時間$τを研究する。 (n)$ over $n\le 10^7$ 確率論的機械学習の観点から。 実証的には$τ (n)$は、算術的不均一性を示す歪んだ、非常に分散した数である。 我々は2つの補完モデルを開発する。 まず、ベイズ的階層的負二項回帰(NB2-GLM)が$τを予測する (n) 単純共変量$\log n$および剰余類$n \bmod 8$から、後部および後部予測分布を介して不確実性を定量化する。 第二に、奇数ブロック分解に基づく機械的生成近似を提案する:奇数$m$, write $3m+1=2^{K。 (m)}m'$ with $m'$ odd and $K (m)=v_2(3m+1)\ge 1$; これらのブロック長をランダムにすると、ディリクレ・マルチノミカルな更新によって調整された確率近似が得られる。 ホールドアウトデータでは、NB2-GLMは奇ブロック発生器よりも予測確率がかなり高い。 m\bmod 8$ のブロック長分布を条件にすると、ジェネレータの分布適合性が著しく改善し、低階モジュラ構造が$τ における不均一性の鍵となることを示す。 (n)$。

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