論文の概要: Robust Automatic Differentiation of Square-Root Kalman Filters via Gramian Differentials
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.13559v1
- Date: Fri, 13 Mar 2026 19:55:08 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-03-17 16:19:35.272981
- Title: Robust Automatic Differentiation of Square-Root Kalman Filters via Gramian Differentials
- Title（参考訳）: 文法微分による正方形ルートカルマンフィルタのロバスト自動微分
- Abstract要約: 平方根カルマンフィルタは、Colesky-factor形式の状態共分散を数値安定性のために伝播する。
彼らの中心となる演算、mathbbRn × m$ の行列 $M の三角化は、実際にはQR分解によって計算される。
これはムーア-ペンローズ擬逆数に基づく列空間項と、M$の列空間の外の摂動に対するヌル空間補正である。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.542663650865005
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Square-root Kalman filters propagate state covariances in Cholesky-factor form for numerical stability, and are a natural target for gradient-based parameter learning in state-space models. Their core operation, triangularization of a matrix $M \in \mathbb{R}^{n \times m}$, is computed via a QR decomposition in practice, but naively differentiating through it causes two problems: the semi-orthogonal factor is non-unique when $m > n$, yielding undefined gradients; and the standard Jacobian formula involves inverses, which diverges when $M$ is rank-deficient. Both are resolved by the observation that all filter outputs relevant to learning depend on the input matrix only through the Gramian $MM^\top$, so the composite loss is smooth in $M$ even where the triangularization is not. We derive a closed-form chain-rule directly from the differential of this Gramian identity, prove it exact for the Kalman log-marginal likelihood and filtered moments, and extend it to rank-deficient inputs via a two-component decomposition: a column-space term based on the Moore--Penrose pseudoinverse, and a null-space correction for perturbations outside the column space of $M$.
- Abstract（参考訳）: 平方根カルマンフィルタは、Colesky-factor形式の状態共分散を数値安定性のために伝播し、状態空間モデルにおける勾配に基づくパラメータ学習の自然なターゲットである。
それらの中心的な演算である、行列 $M \in \mathbb{R}^{n \times m}$ の三角化は、実際にはQR分解によって計算されるが、それを微分することで、2つの問題を引き起こす。
どちらも、学習に関連する全てのフィルタ出力は、グラミアン$MM^\top$を通してのみ入力行列に依存しているため、三角化がなければ合成損失は$M$で滑らかである。
この文法的アイデンティティの微分から直接閉形式連鎖ルールを導出し、カルマン対数確率とフィルターモーメントの完全性を証明し、2成分分解(ムーア-ペンローズ擬逆数に基づくカラム空間項と、M$のカラム空間外の摂動に対するヌル空間補正)を通してランク不足入力に拡張する。
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