論文の概要: Unbiased and Biased Variance-Reduced Forward-Reflected-Backward Splitting Methods for Stochastic Composite Inclusions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.15576v1
• Date: Mon, 16 Mar 2026 17:39:25 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-03-17 18:28:58.700994
• Title: Unbiased and Biased Variance-Reduced Forward-Reflected-Backward Splitting Methods for Stochastic Composite Inclusions
• Title（参考訳）: 確率的複合包有物に対する不偏分散とバイアス分散による前方反射-後方分割法
• Abstract要約: 本研究では,フォワード反射逆スプリッティング法(FRBS)のための新しい分散還元法を開発した。 ミニバッチのような偏見のない推定器とは異なり、偏見のある変種の開発は基本的な技術的課題に直面している。 ループレスSVRGやSAGAを利用する場合,$mathcalO(n2/3-2)$と$mathcalO(-10/3)$が最良であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.6997773420183866
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: This paper develops new variance-reduction techniques for the forward-reflected-backward splitting (FRBS) method to solve a class of possibly nonmonotone stochastic composite inclusions. Unlike unbiased estimators such as mini-batching, developing stochastic biased variants faces a fundamental technical challenge and has not been utilized before for inclusions and fixed-point problems. We fill this gap by designing a new framework that can handle both unbiased and biased estimators. Our main idea is to construct stochastic variance-reduced estimators for the forward-reflected direction and use them to perform iterate updates. First, we propose a class of unbiased variance-reduced estimators and show that increasing mini-batch SGD, loopless-SVRG, and SAGA estimators fall within this class. For these unbiased estimators, we establish a $\mathcal{O}(1/k)$ best-iterate convergence rate for the expected squared residual norm, together with almost-sure convergence of the iterate sequence to a solution. Consequently, we prove that the best oracle complexities for the $n$-finite-sum and expectation settings are $\mathcal{O}(n^{2/3}ε^{-2})$ and $\mathcal{O}(ε^{-10/3})$, respectively, when employing loopless-SVRG or SAGA, where $ε$ is a desired accuracy. Second, we introduce a new class of biased variance-reduced estimators for the forward-reflected direction, which includes SARAH, Hybrid SGD, and Hybrid SVRG as special instances. While the convergence rates remain valid for these biased estimators, the resulting oracle complexities are $\mathcal{O}(n^{3/4}ε^{-2})$ and $\mathcal{O}(ε^{-5})$ for the $n$-finite-sum and expectation settings, respectively. Finally, we conduct two numerical experiments on AUC optimization for imbalanced classification and policy evaluation in reinforcement learning.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,非単調な確率的複合包摂のクラスを解くために,フォワード反射逆スプリッティング法(FRBS)の新しい分散還元法を開発した。 ミニバッチのような偏見のない推定器とは異なり、確率的偏見のある変種の開発は基本的な技術的課題に直面しており、包含や固定点問題にこれまで使われていなかった。 このギャップを埋めるために、偏見のない推定と偏見のない推定の両方を扱える新しいフレームワークを設計します。 我々の主な考え方は、前方反射方向の確率的分散再現推定器を構築し、それらを反復的な更新に使用することである。 まず,不偏分散還元推定器のクラスを提案し,小バッチSGD,ループレスSVRG,SAGA推定器の増加がこのクラスに含まれることを示す。 これらの偏りのない推定器に対して、期待される2乗残留ノルムに対する$\mathcal{O}(1/k)$ベストイテレート収束率と、イテレート列を解にほぼ確実に収束させる。 その結果、$n$-finite-sum と $ε$ が所望の精度であるループレス-SVRG や SAGA を用いる場合、$\mathcal{O}(n^{2/3}ε^{-2})$ と $\mathcal{O}(ε^{-10/3})$ が最適であることを示す。 第2に,SARAH,Hybrid SGD,Hybrid SVRGを特別な例として含む,前方反射方向の偏差推定器を新たに導入する。 収束速度はこれらのバイアス推定器で有効であるが、結果として生じるオラクルの複雑さは$\mathcal{O}(n^{3/4}ε^{-2})$と$\mathcal{O}(ε^{-5})$である。 最後に、強化学習における不均衡な分類と政策評価のためのAUC最適化に関する2つの数値実験を行った。

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