論文の概要: Diffusion Model for Manifold Data: Score Decomposition, Curvature, and Statistical Complexity

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.20645v1
• Date: Sat, 21 Mar 2026 04:40:19 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-03-24 19:11:39.014096
• Title: Diffusion Model for Manifold Data: Score Decomposition, Curvature, and Statistical Complexity
• Title（参考訳）: マニフォールドデータの拡散モデル:スコア分解, 曲率, 統計的複雑度
• Authors: Zixuan Zhang, Kaixuan Huang, Tuo Zhao, Mengdi Wang, Minshuo Chen,
• Abstract要約: 拡散モデルは、生成モデリングにおける主要なフレームワークとなっている。 本稿では,拡散モデルが構造データをどのように学習するかを,統計的複雑性とデータ幾何学的性質の影響の2つの重要な側面に焦点をあてる。 また、スコア関数の構造と多様体曲率の相互作用も強調する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 93.52679474816728
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Diffusion models have become a leading framework in generative modeling, yet their theoretical understanding -- especially for high-dimensional data concentrated on low-dimensional structures -- remains incomplete. This paper investigates how diffusion models learn such structured data, focusing on two key aspects: statistical complexity and influence of data geometric properties. By modeling data as samples from a smooth Riemannian manifold, our analysis reveals crucial decompositions of score functions in diffusion models under different levels of injected noise. We also highlight the interplay of manifold curvature with the structures in the score function. These analyses enable an efficient neural network approximation to the score function, built upon which we further provide statistical rates for score estimation and distribution learning. Remarkably, the obtained statistical rates are governed by the intrinsic dimension of data and the manifold curvature. These results advance the statistical foundations of diffusion models, bridging theory and practice for generative modeling on manifolds.
• Abstract（参考訳）: 拡散モデルは生成モデリングにおいて主要なフレームワークとなっているが、その理論的理解(特に低次元構造に集中した高次元データ)はいまだ不完全である。 本稿では, 拡散モデルがそのような構造化データをどのように学習するかを, 統計的複雑性とデータ幾何学的性質の影響の2つの重要な側面に焦点をあてる。 滑らかなリーマン多様体のサンプルとしてデータをモデル化することにより、異なるレベルのノイズ下での拡散モデルにおけるスコア関数の決定的な分解を明らかにする。 また、スコア関数の構造と多様体曲率の相互作用も強調する。 これらの分析により、スコア関数に対する効率的なニューラルネットワーク近似が可能となり、さらにスコア推定と分布学習のための統計的レートを提供する。 注目すべきは、得られた統計速度は、データの本質的な次元と多様体曲率によって制御されることである。 これらの結果は、拡散モデル、ブリッジ理論、多様体上の生成的モデリングの実践の統計的基礎を前進させる。

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