論文の概要: Generalization Bounds and Statistical Guarantees for Multi-Task and Multiple Operator Learning with MNO Networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2604.01961v1
• Date: Thu, 02 Apr 2026 12:23:35 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-04-03 14:21:10.777058
• Title: Generalization Bounds and Statistical Guarantees for Multi-Task and Multiple Operator Learning with MNO Networks
• Title（参考訳）: MNOネットワークを用いたマルチタスク・マルチオペレータ学習のための一般化境界と統計的保証
• Authors: Adrien Weihs, Hayden Schaeffer,
• Abstract要約: 複数の演算子学習は、学習演算子ファミリー$G[]:Uto V_in W$演算子記述子$$でインデックス付けされる。 トレーニングデータは、演算子インスタンスをサンプリングする$$、インスタンス毎に$u$の入力関数、最後に入力毎に$x$の評価ポイントによって階層的に収集される。 本稿では、分割可能なモデルに対する被覆数に基づく一般化解析を行い、マルチプルニューラル演算子アーキテクチャに焦点をあてる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Multiple operator learning concerns learning operator families $\{G[α]:U\to V\}_{α\in W}$ indexed by an operator descriptor $α$. Training data are collected hierarchically by sampling operator instances $α$, then input functions $u$ per instance, and finally evaluation points $x$ per input, yielding noisy observations of $G[α][u](x)$. While recent work has developed expressive multi-task and multiple operator learning architectures and approximation-theoretic scaling laws, quantitative statistical generalization guarantees remain limited. We provide a covering-number-based generalization analysis for separable models, focusing on the Multiple Neural Operator (MNO) architecture: we first derive explicit metric-entropy bounds for hypothesis classes given by linear combinations of products of deep ReLU subnetworks, and then combine these complexity bounds with approximation guarantees for MNO to obtain an explicit approximation-estimation tradeoff for the expected test error on new (unseen) triples $(α,u,x)$. The resulting bound makes the dependence on the hierarchical sampling budgets $(n_α,n_u,n_x)$ transparent and yields an explicit learning-rate statement in the operator-sampling budget $n_α$, providing a sample-complexity characterization for generalization across operator instances. The structure and architecture can also be viewed as a general purpose solver or an example of a "small'' PDE foundation model, where the triples are one form of multi-modality.
• Abstract（参考訳）: 複数の演算子学習は、演算子族$\{G[α]:U\to V\}_{α\in W}$を演算子記述子$α$でインデックス付けする。 トレーニングデータは、演算子インスタンスをサンプリングすることで階層的に収集され、1インスタンスあたり$u$、最後に1入力あたり$x$の評価ポイントが$G[α][u](x)$となる。 最近の研究では、表現力のあるマルチタスクと複数の演算子学習アーキテクチャと近似理論スケーリング法則が開発されているが、統計的一般化の保証は限られている。 まず、深部ReLUサブネットの積の線形結合によって与えられる仮説クラスに対する明示的な計量エントロピー境界を導出し、次にこれらの複雑性をMNOの近似保証と組み合わせて、新しい(目に見えない)三重項に対する期待されるテスト誤差に対する明示的な近似推定トレードオフを得る。 その結果、階層的なサンプリング予算への依存を$(n_α,n_u,n_x)$ 透明化し、演算子サンプリング予算$n_α$の明示的な学習率ステートメントを出力し、演算子インスタンス間の一般化のためのサンプル複雑度特性を提供する。 構造とアーキテクチャは、汎用的な解法や、「小さな」PDE基礎モデルの例と見なすこともできる。

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