論文の概要: Sheaf-Laplacian Obstruction and Projection Hardness for Cross-Modal Compatibility on a Modality-Independent Site

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2604.07632v1
• Date: Wed, 08 Apr 2026 22:20:25 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-04-10 18:34:05.58336
• Title: Sheaf-Laplacian Obstruction and Projection Hardness for Cross-Modal Compatibility on a Modality-Independent Site
• Title（参考訳）: モダリティ非依存地におけるクロスモーダル適合性のためのシーフ・ラプラシアン障害物と投影硬度
• Abstract要約: 学習表現における相互互換を解析するための統一的なフレームワークを開発する。 有向モダリティ対 $(ato b)$ に対して、2つの相補的不和性機構を形式化する。 具体的なReLU設定では, 直接アライメントが不可能な場合でも, 中間モダリティは有効硬度を厳密に低減できることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We develop a unified framework for analyzing cross-modal compatibility in learned representations. The core object is a modality-independent neighborhood site on sample indices, equipped with a cellular sheaf of finite-dimensional real inner-product spaces. For a directed modality pair $(a\to b)$, we formalize two complementary incompatibility mechanisms: projection hardness, the minimal complexity within a nested Lipschitz-controlled projection family needed for a single global map to align whitened embeddings; and sheaf-Laplacian obstruction, the minimal spatial variation required by a locally fit field of projection parameters to achieve a target alignment error. The obstruction invariant is implemented via a projection-parameter sheaf whose 0-Laplacian energy exactly matches the smoothness penalty used in sheaf-regularized regression, making the theory directly operational. This separates two distinct failure modes: hardness failure, where no low-complexity global projection exists, and obstruction failure, where local projections exist but cannot be made globally consistent over the semantic neighborhood graph without large parameter variation. We link the sheaf spectral gap to stability of global alignment, derive bounds relating obstruction energy to excess global-map error under mild Lipschitz assumptions, and give explicit constructions showing that compatibility is generally non-transitive. We further define bridging via composed projection families and show, in a concrete ReLU setting, that an intermediate modality can strictly reduce effective hardness even when direct alignment remains infeasible.
• Abstract（参考訳）: 学習表現における相互互換を解析するための統一的なフレームワークを開発する。 コアオブジェクトはサンプルインデックス上のモダリティ非依存の近傍サイトであり、有限次元の実内積空間のセル層を備える。 有向モダリティ対 $(a\to b)$ に対して、投影硬度、白色の埋め込みを整列する単一の大域写像に必要なネスト付きリプシッツ制御プロジェクションファミリー内の最小の複雑さ、およびターゲットアライメント誤差を達成するためにプロジェクションパラメータの局所的に適合するフィールドによって必要となる最小の空間的変動である層-ラプラシアン障害物の2つの相補的不整合機構を定式化する。 障害物不変量は、0-ラプラシアエネルギーが層-正則回帰で用いられる滑らかさのペナルティと正確に一致し、直接的に作用するプロジェクションパラメータによって実装される。 低複雑さのグローバルプロジェクションが存在しない硬度障害と、局所的なプロジェクションが存在するが、大きなパラメータのばらつきなしにセマンティック近隣グラフ上でグローバルに一貫性を持たせることができない障害物障害である。 我々は、せん断スペクトルギャップを大域的アライメントの安定性に結び付け、緩やかなリプシッツ仮定の下で閉塞エネルギーと過剰な大域的マップ誤差に関する境界を導出し、整合性は概して非推移的であることを示す明示的な構成を与える。 さらに、合成射影ファミリによるブリッジングを定義し、具体的なReLU設定では、中間モダリティが直接アライメントが不可能な場合でも、有効硬度を厳密に低減できることを示す。

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