論文の概要: Relocation of compact sets in $\mathbb{R}^n$ by diffeomorphisms and linear separability of datasets in $\mathbb{R}^n$
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2604.21393v1
- Date: Thu, 23 Apr 2026 08:00:55 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-04-24 14:40:06.374407
- Title: Relocation of compact sets in $\mathbb{R}^n$ by diffeomorphisms and linear separability of datasets in $\mathbb{R}^n$
- Title（参考訳）: 微分同相写像による$\mathbb{R}^n$内のコンパクト集合の転位と$\mathbb{R}^n$におけるデータセットの線形分離性
- Abstract要約: 我々は,Laky-ReLU,ELU,SELUアクティベーション関数を備えた幅$n$のディープニューラルネットワーク(DNN)により,$mathbbRn$の有限個のコンパクトデータセットを線形分離可能であることを示す。
さらに、$mathbbRn$ の任意の有限個の互いに結合しないコンパクトなデータセットは、$mathbbRn+1$ の幅-$(n+1)$ で線型分離可能であることを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 9.00733527455972
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Relocation of compact sets in an $n$-dimensional manifold by self-diffeomorphism is of its own interest as well as significant potential applications to data classification in data science. This paper presents a theory for relocating a finite number of compact sets in $\mathbb{R}^n$ to be relocated to arbitrary target domains in $\mathbb{R}^n$ by diffeomorphisms of $\mathbb{R}^n$. Furthermore, we prove that for any such collection, there exists a differentiable embedding into $\mathbb{R}^{n+1}$ such that their images become linearly separable. As applications of the established theory, we show that a finite number of compact datasets in $\mathbb{R}^n$ can be made linearly separable by width-$n$ deep neural networks (DNNs) with Leaky-ReLU, ELU, or SELU activation functions, under a mild condition. In addition, we show that any finite number of mutually disjoint compact datasets in $\mathbb{R}^n$ can be made linearly separable in $\mathbb{R}^{n+1}$ by a width-$(n+1)$ DNN.
- Abstract（参考訳）: 自己微分同相写像による$n$次元多様体内のコンパクト集合の転置は、データ科学におけるデータ分類への有意義な応用と同様に、それ自身の関心事である。
本稿では、$\mathbb{R}^n$ の有限個のコンパクト集合を $\mathbb{R}^n$ の微分同相写像により任意の対象領域に移動させる理論を提案する。
さらに、そのような集合に対して、$\mathbb{R}^{n+1}$に微分可能な埋め込みが存在して、それらの像が線型分離可能であることを証明する。
確立された理論の応用として、Laky-ReLU、ELU、SELUの活性化関数を持つ幅$n$ディープニューラルネットワーク(DNN)により、$\mathbb{R}^n$の有限個のコンパクトデータセットを線形分離可能であることを示す。
さらに、$\mathbb{R}^n$の任意の有限個のコンパクトデータセットを、幅$(n+1)$ DNNで$\mathbb{R}^{n+1}$で線形分離可能であることを示す。
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