論文の概要: Lattice theory and algebraic models for deep convolutional learning based on mathematical morphology

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.24608v1
• Date: Sat, 23 May 2026 14:43:52 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-05-26 19:50:18.271168
• Title: Lattice theory and algebraic models for deep convolutional learning based on mathematical morphology
• Title（参考訳）: 数学的形態学に基づく深層畳み込み学習のための格子理論と代数モデル
• Authors: Gustavo, Angulo,
• Abstract要約: 我々は,深層畳み込みアーキテクチャ,CNN,ResNet,UNetなどのエンコーダ・デコーダネットワークのための厳密なフレームワークを開発する。 中心的なツールは、翻訳不変作用素に対するMatheron--Maragos--Banon--Barrera(MMBB)普遍表現理論である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.3587119374173258
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We develop a rigorous algebraic framework for deep convolutional architectures, CNNs, ResNets, and encoder--decoder networks such as UNet, grounded in lattice theory and mathematical morphology. The central tool is the Matheron--Maragos--Banon--Barrera (MMBB) universal representation theory for translation-invariant operators, which we apply systematically to every layer of a standard deep network. The principal finding is that the standard CNN pipeline (linear convolution~$+$ ReLU~$+$ flat max-pooling) is a cross-lattice operator: the convolution is an erosion in the Fourier inf-semilattice while ReLU is a lattice-join closing and max-pooling is a dilation in the pointwise max-plus lattice, and their composition is a morphological opening in neither. A second finding is that the upper adjoint of ReLU in the pointwise lattice is a global (non-local) operator, the identity on globally non-negative functions and $-\infty$ otherwise, so no local morphological erosion can form an adjunction pair with ReLU. These two results together provide the precise algebraic reason why depth in standard CNNs introduces genuine representational power: the composed layer is not idempotent. Three layer designs that are genuine idempotent openings are identified and fully characterised: the pure max-plus morphological layer (pointwise lattice), the spectral Wiener layer (Fourier lattice), and the self-dual morphological layer. We establish a complete fixed-point and convergence theory. The framework also unifies max-pooling, strided convolution, and the Laplacian pyramid under the Goutsias--Heijmans adjoint pyramid theory, and gives the Activation--Pooling Dilation (APD) factorisation with its correct adjoint.
• Abstract（参考訳）: 我々は、格子理論と数学的形態を基礎とした、深い畳み込みアーキテクチャ、CNN、ResNet、UNetなどのエンコーダ-デコーダネットワークのための厳密な代数的フレームワークを開発する。中心となるツールは、翻訳不変作用素に対するMatheron-Maragos--Banon--Barrera(MMBB)普遍表現理論であり、標準深層ネットワークのすべての層に体系的に適用する。 主な発見は、標準のCNNパイプライン(線型畳み込み~$+$ ReLU~$+$ flat max-pooling)が交叉格子作用素である: 畳み込みはフーリエ Inf-semilattice における浸食であり、ReLU は格子接合閉包であり、最大プールは点方向の最大プラス格子における拡張であり、それらの構成はどちらもモルフォロジー開包ではない。 第二の発見は、ポイントワイド格子におけるReLUの上の随伴は、大域的(非局所的)作用素であり、大域的非負函数上の恒等式と$-\infty$であり、したがって局所的形態的浸食はReLUとの随伴対を形成することができないことである。 これらの2つの結果は、標準CNNの深さが真の表現力をもたらす正確な代数的理由を与える。 純最大余剰モルフォロジー層(ポイントワイア格子)、スペクトルウィーナー層(フーリエ格子)、自己双対モルフォロジー層(英語版)の3つの層設計が同定され、完全に特徴づけられる。 完全不動点収束理論を確立する。 このフレームワークはまた、最大プーリング、強弱畳み込み、ラプラシアピラミッドをグートシアス=ハイマンの随伴ピラミッド理論の下に統一し、その正しい随伴と活性化-ポリシング・ディレーション(英語版)(APD)の分解を与える。

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