論文の概要: Ternary Gamma Semirings: From Neural Implementation to Categorical Foundations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.19317v1
- Date: Sun, 15 Mar 2026 14:56:33 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-03-23 19:48:38.785223
- Title: Ternary Gamma Semirings: From Neural Implementation to Categorical Foundations
- Title（参考訳）: 第三紀ガンマセミリング: ニューラル実装からカテゴリー基礎へ
- Authors: Ruoqi Sun,
- Abstract要約: 本稿では,ニューラルネットワーク学習と抽象代数構造を結合する理論的枠組みを確立する。
まず、標準ニューラルネットワークが合成一般化タスクで完全に失敗することを示す最小限の反例を示す。
この学習された特徴空間が有限可換3次3次3次$-semiringを構成することを証明し、その3次演算は多数決ルールを実装している。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.14504054468850663
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: This paper establishes a theoretical framework connecting neural network learning with abstract algebraic structures. We first present a minimal counterexample demonstrating that standard neural networks completely fail on compositional generalization tasks (0% accuracy). By introducing a logical constraint -- the Ternary Gamma Semiring -- the same architecture learns a perfectly structured feature space, achieving 100% accuracy on novel combinations. We prove that this learned feature space constitutes a finite commutative ternary $Γ$-semiring, whose ternary operation implements the majority vote rule. Comparing with the recently established classification of Gokavarapu et al., we show that this structure corresponds precisely to the Boolean-type ternary $Γ$-semiring with $|T|=4$, $|Γ|=1$}, which is unique up to isomorphism in their enumeration. Our findings reveal three profound conclusions: (i) the success of neural networks can be understood as an approximation of mathematically ``natural'' structures; (ii) learned representations generalize because they internalize algebraic axioms (symmetry, idempotence, majority property); (iii) logical constraints guide networks to converge to these canonical forms. This work provides a rigorous mathematical framework for understanding neural network generalization and inaugurates the new interdisciplinary direction of Computational $Γ$-Algebra.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,ニューラルネットワーク学習と抽象代数構造を結合する理論的枠組みを確立する。
まず、標準ニューラルネットワークが合成一般化タスク(0%の精度)で完全に失敗することを示す最小限の反例を示す。
Ternary Gamma Semiringという論理的制約を導入することで、同じアーキテクチャが完全に構造化された機能空間を学び、新しい組み合わせで100%の精度を達成する。
我々は、この学習された特徴空間が有限可換な三次三次三次対数を構成することを証明し、三次演算は多数決ルールを実践する。
最近確立された Gokavarapu et al の分類と比較すると、この構造は、その列挙式における同型に一意な、$|T|=4$, $|||=1$} のブール型三元数 $ $-semiring と正確に一致することを示す。
以上の結果から,3つの重大な結論が得られた。
(i)ニューラルネットワークの成功は、数学的に「自然」構造の近似として理解することができる。
(II) 学習表現は代数公理(対称性、イデペンデンス、多数性質)を内部化するので一般化する。
3) 論理的制約は、これらの標準形式に収束するようにネットワークを誘導する。
この研究は、ニューラルネットワークの一般化を理解するための厳密な数学的枠組みを提供し、Computational $ $-Algebraの新しい学際的な方向性を定めている。
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