論文の概要: Branched Signature Kernel Solvers for ODEs with rough Single-Trajectory signals

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.25826v1
• Date: Mon, 25 May 2026 13:22:07 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-05-26 19:50:20.133095
• Title: Branched Signature Kernel Solvers for ODEs with rough Single-Trajectory signals
• Title（参考訳）: 粗い単軌道信号を持つODEの分岐符号カーネル解法
• Abstract要約: 単軌道で駆動される常微分方程式に対する分岐シグネチャカーネルソルバを開発する。 Emphcount-sampling構造は、単一の観察をN+1$ネストされたトレーニングパスの階層的なファミリーに変換する。 カーネル・コロケーション・フレームワークは、アンザッツを解の最高階微分または解自体に配置する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.94985644773306
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We develop a branched signature kernel solver for linear and nonlinear ordinary differential equations driven by a \emph{single observed trajectory} of a possibly rough forcing signal -- a setting that arises naturally in earthquake engineering, finance, biology, and structural health monitoring, where the forcing is observed exactly once and the solver must respect the underlying physical law without recourse to an ensemble of realizations. Two ingredients are new. First, a \emph{count-sampling} construction turns the single observation into a hierarchical family of $N+1$ nested training paths on which the branched signature kernel can be evaluated; this allows the signature kernel machinery, originally designed for multi-realization regression problems, to operate on a single-trajectory observation. Second, a kernel-collocation framework places the ansatz either on the highest-order derivative of the solution (with lower derivatives recovered by integrating the kernel) or on the solution itself (after $m$-fold integration of the ODE). We prove a universal approximation theorem for the branched signature kernel, leveraging the Hairer--Kelly morphism to express branched signature evaluations through geometric signatures of time-extended paths. The offline solver is extended to a streaming Test/Train/Retrain protocol with closed-form online updates in the linear case and scalar Newton steps in the nonlinear case. Numerical experiments on six benchmarks (El-Centro earthquake displacement, the Solow capital-stock model, an fBM-driven second-order ODE, a forced Duffing oscillator, a path-dependent Arias-intensity-degraded oscillator with variable coefficients, and a noisy Kuramoto phase-oscillator system) show that the branched signature-kernel solver delivers accurate, stable predictions across all regimes.
• Abstract（参考訳）: 我々は, 地震工学, 金融学, 生物学, 構造的健康モニタリングにおいて自然に発生する, 粗い強制信号の「emph{single observed trajectory}」によって駆動される線形非線形常微分方程式と非線形常微分方程式の分岐型シグネチャカーネルソルバを開発した。 2つの材料は新しいです。 まず、'emph{count-sampling} 構造は、単一観測を分岐されたシグネチャカーネルを評価可能な階層的な$N+1$のネストされたトレーニングパスに変換する。 第二に、カーネル・コロケーション・フレームワークは、解の最高階微分(カーネルを統合することで回収される低階微分)または解自体にアンザッツを配置する(ODEの$m$-fold積分の後)。 時間拡張パスの幾何学的シグネチャを通して分岐シグネチャ評価を表現するために、Hairer-Kelly型を利用した分岐シグネチャカーネルの普遍近似定理を証明した。 オフラインのソルバはストリーミングのTest/Train/Retrainプロトコルに拡張され、リニアケースではクローズドフォームのオンライン更新、非線形ケースではスカラーのNewtonステップで更新される。 6つのベンチマーク(El-Centro地震変位, Solow Capital-stockモデル, fBM駆動の2次ODE, 強制ダッフィング発振器, 経路依存性のアリアス・インテンシティ劣化発振器, ノイズの多い倉本位相発振器システム)の数値実験により, 分岐型シグネチャカーネルソルバが全政権にわたって正確で安定した予測を行うことを示した。

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