論文の概要: Bernstein-Schur Kernels: Random Features by Sketched Modulation and Radial Randomization
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.11255v1
- Date: Mon, 08 Jun 2026 21:59:44 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-06-11 16:42:38.085961
- Title: Bernstein-Schur Kernels: Random Features by Sketched Modulation and Radial Randomization
- Title（参考訳）: Bernstein-Schur Kernels:Sketched ModulationとRadial Randomizationによるランダム特徴
- Authors: Taha Bouhsine,
- Abstract要約: Bernstein--Schur カーネルは有限機能カーネルと単調シフトインカーネル不変量の積である。
両因子を言い換えるクラス全体の1つの特徴的構成を与える。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.42303492200814446
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Bernstein--Schur kernels are products of a finite-feature kernel (one with an explicit finite-dimensional feature map) and a completely monotone shift-invariant kernel: nonstationary kernels that fall between the shift-invariant and dot-product templates random features usually exploit, so in general neither Bochner sampling nor polynomial sketching applies to the full kernel directly. We give one random-feature construction for the whole class that \emph{randomizes both factors: it sketches the finite modulation and randomizes the completely monotone radial factor, sampling the latter's one-dimensional Bernstein--Widder scale and then applying Gaussian random Fourier features (whose frequency is still $d$-dimensional). The feature dimension is then $Dm$, set by the sketch size $m$ and the radial-draw count $D$, free of the $O(d^2)$ size of the exact modulation feature. Keeping the modulation \emph{exact} is the analyzable limit ($m\to\infty$): there we prove unbiasedness, an exact variance for the recommended flat estimator, an expected matrix-Bernstein operator-norm bound (with a matching high-probability tail) controlled by the top eigenvalues of the kernel and modulation Gram matrices together with an intrinsic dimension rather than the crude $N\max_{ij}$ entrywise route, and a deterministic relative-spectral kernel-ridge stability result. By conditioning on the sketch, the doubly-randomized estimator inherits the same intrinsic-dimension operator-norm guarantee plus a single additive sketch term, tunable by $m$ independently of $D$. The motivating instance is the biased $yat$-kernel $k_{yat,b}(w,x)=(w^\top x+b)^2/(\|w-x\|^2+\varepsilon)$, $b\ge0$, whose family span contains the inverse-multiquadric kernel by finite differences in $b$; for it the radial mixture is the IMQ spectral sampler, and one frequency per scale is variance-optimal at a fixed radial-feature budget.
- Abstract（参考訳）: Bernstein--Schur カーネルは有限機能カーネル(明示的な有限次元の特徴写像を持つ)と完全単調シフト不変カーネル(英語版)の積である:シフト不変量とドット生成テンプレートの間にある非定常カーネルは通常ランダムな特徴を悪用する。
有限変調をスケッチし、完全に単調なラジアル因子をランダム化し、後者の1次元ベルンシュタイン-ウィッダースケールをサンプリングし、ガウス的ランダムフーリエ特徴(その周波数がまだ$d$$-dimensional)を適用する。
次に、特徴次元は$Dm$となり、スケッチサイズ$m$と、正確な変調機能の$O(d^2)$サイズを含まないラジアル値$D$によって設定される。
変調 \emph{exact} を解析可能な極限 (m\to\infty$): ここでは、不偏性、推奨平坦な推定器の正確な分散、期待行列-ベルンシュタイン作用素-ノルム境界(対応する高確率の尾を持つ)がカーネルのトップ固有値によって制御され、変調グラム行列は、粗な$N\max_{ij} よりも本質的な次元とともに、エントリーワイドルートと決定論的相対スペクトルカーネル-リッジ安定性の結果であることを示す。
スケッチを条件付けすることで、二重ランダム化された推定子は、D$とは独立して$m$で調整可能な単一の追加のスケッチ項に加えて、本質的なディメンジョン演算子-ノルム保証を継承する。
モチベーションインスタンスは、バイアス付き$yat$-kernel $k_{yat,b}(w,x)=(w^\top x+b)^2/(\|w-x\|^2+\varepsilon)$, $b\ge0$であり、その族は逆多重四乗核を$b$で有限差分で含む。
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