論文の概要: Bernstein-Schur Kernels: Random Features by Sketched Modulation and Radial Randomization
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.11255v2
- Date: Thu, 11 Jun 2026 16:01:21 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-06-12 15:55:27.328273
- Title: Bernstein-Schur Kernels: Random Features by Sketched Modulation and Radial Randomization
- Title（参考訳）: Bernstein-Schur Kernels:Sketched ModulationとRadial Randomizationによるランダム特徴
- Authors: Taha Bouhsine,
- Abstract要約: Bernstein--Schur カーネルは有限機能カーネルと単調シフト不変カーネルの積である。
両因子をランダム化するクラス全体のランダムな構成を与える。
我々は、非バイアス性、正確な分散、およびトップカーネルと変調固有値で有界な行列-ベルンシュタイン作用素ノルムを証明した。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.42303492200814446
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Bernstein--Schur kernels are products of a finite-feature kernel and a completely monotone shift-invariant kernel: nonstationary kernels falling between the shift-invariant and dot-product templates random features exploit, so neither Bochner sampling nor polynomial sketching applies to the full kernel directly. We give one random-feature construction for the whole class that randomizes both factors: it sketches the finite modulation and samples the radial factor's one-dimensional Bernstein--Widder scale before applying Gaussian random Fourier features, giving feature dimension $Dm$, free of the $O(d^2)$ size of the exact modulation feature. With the modulation kept exact (the $m\to\infty$ limit), we prove unbiasedness, an exact variance, and a matrix-Bernstein operator-norm bound controlled by the top kernel and modulation eigenvalues and an intrinsic dimension rather than the crude $N\max_{ij}$ route. Whitening this argument at the ridge makes the effective dimension $d_{\mathrm{eff}}(λ)$ the \emph{exact} intrinsic dimension of the matrix variance, so $O((1+\|P\|_{\mathrm{op}}/λ)\log(d_{\mathrm{eff}}/δ))$ radial draws preserve the kernel-ridge solution; tilting the draw by a closed-form whitened leverage improves this to the effective-dimension count $O((1+d_{\mathrm{eff}})\log(d_{\mathrm{eff}}/δ))$. Conditioning on the sketch carries every guarantee to the deployed doubly-randomized estimator up to one additive sketch term, and all hold for the whole class with the modulation Gram in place of the polynomial one. The flagship instance is the biased $yat$-kernel $k_{yat,b}(w,x)=(w^\top x+b)^2/(\|w-x\|^2+\varepsilon)$, whose family span contains the inverse-multiquadric kernel by finite differences in $b$.
- Abstract（参考訳）: Bernstein--Schur カーネルは有限機能カーネルと完全モノトンシフト不変カーネルの産物であり、非定常カーネルはシフト不変とドット生成テンプレートの間に落下する。
有限変調をスケッチし、ガウス的ランダムフーリエ特徴を適用する前に、ラジアル因子の1次元ベルンシュタイン-ウィッダースケールをサンプリングし、正確な変調特徴の$O(d^2)$サイズなしで、特徴次元$Dm$を与える。
変調が厳密に保たれ($m\to\infty$ limit)、不偏性、正確な分散、およびトップカーネルと変調固有値によって制御される行列-ベルンシュタイン作用素ノルムと、粗な$N\max_{ij}$ルートよりも本質的な次元を証明できる。
尾根でのこの議論を白化すれば、実効次元 $d_{\mathrm{eff}}(λ)$ 行列分散の内在次元 $O((1+\|P\|_{\mathrm{op}}/λ)\log(d_{\mathrm{eff}}/δ))$ radial draws は核リッジの解を保存する。
スケッチの条件付けには、デプロイされた2倍ランダム化された推定子に対する保証を1つの加法的スケッチ項まで含み、すべての保証は、多項式 1 の代わりに変調グラムを持つクラス全体の保持となる。
フラッグシップのインスタンスは、バイアス付き$yat$-kernel $k_{yat,b}(w,x)=(w^\top x+b)^2/(\|w-x\|^2+\varepsilon)$である。
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