論文の概要: Local Fokker--Planck Geometry for Score Estimation: Heat-Ball Mean-Value Representations and Exact High-Dimensional Sampling

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.27954v1
• Date: Fri, 26 Jun 2026 10:48:45 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-29 18:24:25.470011
• Title: Local Fokker--Planck Geometry for Score Estimation: Heat-Ball Mean-Value Representations and Exact High-Dimensional Sampling
• Title（参考訳）: 局所Fokker-Planck Geometry for Score Estimation: Heat-Ball Mean-Value Representations and Exact High-D Smpling
• Abstract要約: スコアベースの生成モデルとランゲヴィンサンプルは、フォワード拡散のスコア関数 $nabla_xlog p_t(x)$ を推定することに依存する。 グローバルコンディショニングをローカルなパラボラ平均化に置き換えるローカルなFokker-Planckフレームワークを開発した。 256次元MNISTの2次元構造データに対して,本フレームワークの有効性を検証した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.51205440996053
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Score-based generative models and Langevin samplers rely on estimating the score function $\nabla_x\log p_t(x)$ of a forward diffusion. Classically this is tractable when the drift is linear: the marginal density is Gaussian and the score is a global conditional expectation. For a general nonlinear, state-dependent drift the marginal density has no closed form, and existing methods--denoising score matching and global Fokker--Planck residual penalties--resort to global averaging that inflates estimation error in low-density regions precisely where accuracy is most critical. We address this by developing a local Fokker--Planck geometric framework that replaces global conditioning with local parabolic averaging. Our approach rests on three contributions. First, a time change to the cumulative-variance coordinate reduces the variable-coefficient Fokker--Planck equation to a standard inhomogeneous heat equation, on which we extend Evans' classical heat-ball monotonicity method to derive exact local mean-value representations for the score $\nabla_x\log p$ together with the density, log-density, and entropy density; local well-posedness is established under an explicit dimension-dependent drift budget. Second, for high-dimensional Monte Carlo evaluation of the resulting heat-ball integrals, we introduce the $κ$-measure and derive its exact factorized sampler with unit per-sample weight, $χ^2_2$ radial concentration. Third, the $r\to0$ limit of the heat-ball residual recovers the pointwise Fokker--Planck residual, showing that the local framework is a one-parameter generalization of global FP-residual methods, and that the DSM population minimizer is feasible for the heat-ball constraint at every scale. We validate the framework on 2D structured data on 256-dimensional MNIST, and on a dedicated sampler study confirming the concentration laws.
• Abstract（参考訳）: スコアベースの生成モデルとランゲヴィンサンプルは、フォワード拡散のスコア関数 $\nabla_x\log p_t(x)$ を推定することに依存する。 古典的には、これはドリフトが線型であるとき、つまり境界密度はガウスであり、スコアは大域的な条件付き期待値である。 一般の非線形の場合、状態依存ドリフトは閉じた形を持たず、既存の方法、すなわちスコアマッチングとグローバルフォッカー-プランク残差ペナルティは、精度が最重要となる低密度領域における推定誤差を正確に膨らませる大域平均化に取って代わる。 我々は,グローバルな条件付けを局所的な放物的平均化に置き換える局所的なFokker-Planck幾何学的フレームワークを開発することで,この問題に対処する。 私たちのアプローチは3つの貢献に依存します。 まず、累積分散座標に対する時間変化は、変数係数のフォッカー・プランク方程式を標準不均一熱方程式に還元し、そこでは、エバンスの古典的な熱-球単調性法を拡張してスコア$\nabla_x\log p$の正確な局所平均値表現を、密度、対数密度、エントロピー密度とともに導出する。 第2に, 得られた熱-ボール積分の高次元モンテカルロ評価において, κ$-measureを導入し, 試料単位の試料濃度を$ ^2_2$ radial concentration とした正確な因子化試料を導出する。 第三に、熱ボール残差のr\to0$制限は、Fokker-Planck残差を点として回復し、局所的なフレームワークが大域的なFP残差法の1パラメータの一般化であり、DSM人口最小化器はあらゆるスケールの熱ボール制約に対して実現可能であることを示す。 256次元MNISTの2次元構造データに対して,本フレームワークの有効性を検証した。

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