論文の概要: GAIA: Geometry-Adaptive Operator Learning for Forward and Inverse Problems
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.01128v1
- Date: Wed, 01 Jul 2026 16:14:22 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-07-02 19:56:07.983882
- Title: GAIA: Geometry-Adaptive Operator Learning for Forward and Inverse Problems
- Title（参考訳）: GAIA:前方・逆問題に対する幾何適応型演算子学習
- Abstract要約: 本稿では,領域境界と内界分布を幾何学トークンに符号化する演算子学習モデルであるGeometry-Adaptive Integral Autoencoder (GAIA)を紹介する。
これにより、前方(BVPを含む)と任意の領域上の逆問題に対する単一のアーキテクチャが得られる。
我々はGAIAを7つの2Dおよび3Dベンチマークで評価し、そのうち4つは逆問題とBVPに対する新しいまたは実質的に拡張されたベンチマークである。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 17.161755403211252
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Operator learning for partial differential equations (PDEs) on arbitrary geometries builds fast neural surrogates for large-scale simulation. Although recent geometry-adaptive neural operators have made substantial progress, they are mainly designed for forward problems in which inputs and outputs share the same spatial domain. This limits their applicability for boundary value problems (BVPs) and inverse problems, where inputs and outputs may live on different domains. We introduce the Geometry-Adaptive Integral Autoencoder (GAIA), an operator learning model that encodes the domain boundary and the interior field distribution into geometry tokens, and conditions integral transform layers on these tokens via cross-attention, allowing the kernel to adapt locally to geometric features. This yields a single architecture for forward (including BVPs) and inverse problems on arbitrary domains in one pass, without retraining, iterative optimization, or graph construction. We evaluate GAIA on seven 2D and 3D benchmarks, four of which are new or substantially extended benchmarks for inverse problems and BVP: electrical impedance tomography, optical tomography, 3D Darcy flow on varying geometries, and a modified setting of Poisson BVP on mechanical components benchmark (MCB). GAIA sets new state-of-the-art results on every inverse and BVP task, reducing median relative $L^2$ error by 64% on airfoil flow reconstruction and 27% on EIT relative to the next best amortized method, and outperforming all baselines on every shape category of MCB. On other forward problems, GAIA is competitive with specialized solvers while maintaining stable accuracy across point resolutions on which transformer-based baselines degrade.
- Abstract（参考訳）: 任意のジオメトリー上の偏微分方程式(PDE)に対する演算子学習は、大規模シミュレーションのために高速なニューラルネットワークサロゲートを構築する。
最近の幾何適応型ニューラル作用素は大きな進歩を遂げているが、主に入力と出力が同じ空間領域を共有する前方問題のために設計されている。
これにより、バウンダリ値問題(BVP)や逆問題(インプットとアウトプットが異なる領域に生きる)の適用性が制限される。
我々は,ドメイン境界と内界分布を幾何学トークンにエンコードする演算子学習モデルであるGeometry-Adaptive Integral Autoencoder (GAIA)を紹介した。
これにより、前方(BVPを含む)の単一のアーキテクチャと、再トレーニング、反復最適化、グラフ構築なしに、任意の領域上の逆問題が得られる。
我々はGAIAを7つの2Dおよび3Dベンチマークで評価し、その内4つは逆問題に対する新しいあるいは実質的に拡張されたベンチマークであり、電気インピーダンストモグラフィー、光トモグラフィー、3次元ダーシー流の異なるジオメトリでの計測、および機械部品ベンチマーク(MCB)におけるポアソンBVPの修正設定である。
GAIAはすべての逆およびBVPタスクに対して新たな最先端結果を設定し、航空機のフロー再構成では中央値のL^2$エラーを64%減らし、次の最適償却法ではEITでは27%減らし、MBBのすべての形状カテゴリーでは全てのベースラインを上回った。
その他の先進的な問題では、GAIAは、トランスフォーマーベースのベースラインが劣化する点の解像度を安定的に保ちながら、特殊なソルバと競合する。
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