論文の概要: Near-Optimal Learning of Gaussian Sobolev Operators

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.11921v1
• Date: Wed, 08 Jul 2026 23:14:42 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-15 17:08:29.883656
• Title: Near-Optimal Learning of Gaussian Sobolev Operators
• Title（参考訳）: ガウスソボレフ作用素の準最適学習
• Abstract要約: ガウス的ソボレフ演算子をほぼ最適サンプル複雑性で学習するために,Hermite-PCA近似と呼ばれる完全データ駆動アルゴリズムを提案する。 主成分分析と重み付き最小二乗法を採用し、計算効率が良い。 我々は,このアルゴリズムのすべての誤差源を考慮に入れた完全誤差解析と,理論的結果を検証する数値実験を行う。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.6777052815434534
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: A key question in operator learning is how to design surrogate operators with provable approximation guarantees in reasonable computational time. Whereas smooth operators can be approximated efficiently, i.e., with at least algebraic convergence in the amount of training data, learning finitely regular operators is known to be less efficient. The reason is an intrinsic curse of sample complexity, which allows only subalgebraic sample complexity rates. This fact makes it all the more important to develop algorithms which provably achieve these rates. In this work, we present a fully data-driven algorithm, termed Hermite-PCA approximation, for learning Gaussian Sobolev operators with near-optimal sample complexity. It employs principal component analysis and weighted least-squares methods and is therefore computationally efficient. Moreover, it is spectral, in the sense that it achieves faster (and near-optimal) convergence the higher the Sobolev regularity. We provide a full error analysis of this algorithm, taking into account all sources of error, along with numerical experiments that verify our theoretical results and empirically confirm the efficacy of Hermite-PCA approximation for learning Sobolev operators.
• Abstract（参考訳）: 演算子学習における鍵となる問題は、証明可能な近似保証を持つ代理演算子を合理的な計算時間で設計する方法である。 滑らかな作用素は効率よく近似できるが、例えば、訓練データの量に少なくとも代数的収束がある場合、有限正規作用素の学習はより効率的でないことが知られている。 理由は、本質的な複雑なサンプルの呪いであり、これはサブ代数的なサンプルの複雑さ率のみを可能にする。 この事実により、これらのレートを確実に達成するアルゴリズムを開発することがより重要になる。 本研究では,ガウス的ソボレフ演算子をほぼ最適サンプル複雑性で学習するための,Hermite-PCA近似と呼ばれる完全データ駆動アルゴリズムを提案する。 主成分分析と重み付き最小二乗法を採用し、計算効率が良い。 さらにスペクトルであり、ソボレフの正則性はより速く(そしてほぼ最適)収束する。 本稿では,このアルゴリズムの誤り源を全て考慮し,理論的結果を検証する数値実験とともに,ソボレフ演算子を学習するためのHermite-PCA近似の有効性を実証的に検証する。

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