論文の概要: Data eccentricity, asymptotics of Gaussian RBF reproducing kernel Hilbert space, and kernel PCA

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.21823v1
• Date: Thu, 23 Jul 2026 21:18:41 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-27 20:58:57.002445
• Title: Data eccentricity, asymptotics of Gaussian RBF reproducing kernel Hilbert space, and kernel PCA
• Title（参考訳）: データ偏心性、ガウスRBF再生カーネルヒルベルト空間の漸近性、およびカーネルPCA
• Abstract要約: 等方スケーリングにおいて、ガウス RBF カーネル空間は、大きな帯域幅制限でヒルベルト等方性をユークリッド空間に再現していることを示す。 また、カーネルPCAについても検討し、ガウスRBF固有値、固有射影、および主成分が全て古典的(線形)の成分に帯域幅として収束していることを示す。 さまざまなデータセットのコレクションに対する実験では、$がデータセット固有の収束挙動の単純で信頼性の高い予測器を提供することを示している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.061135251278187
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We show that, up to isotropic scaling, the Gaussian RBF reproducing kernel Hilbert space (RKHS) is asymptotically isometric to Euclidean space in the large bandwidth limit. This strongly suggests that kernel-based constructions reliant on metric properties of the RKHS will yield results for Gaussian RBF kernels that similarly approach those of linear kernels for large bandwidths. The asymptotic behavior of Gaussian CKA can be understood in this light. We further consider kernel PCA, showing that Gaussian RBF eigenvalues, eigenprojections, and principal components all converge to those of classical (linear) PCA as bandwidth $σ\rightarrow \infty$. For a given data representation, both the RKHS feature embeddings and the orthogonal PCA eigenframes of the two kernel types differ asymptotically by a geometric similarity transformation, up to a residual of size $O \left (\fracρσ \right )^2$, where $ρ$ is a measure of geometric eccentricity of the representation, equal to the ratio of maximum to median pairwise distance between data examples. Experiments over a diverse collection of data sets demonstrate that $ρ$ provides a simple and reliable predictor of dataset-specific convergence behavior in the top principal directions.
• Abstract（参考訳）: 等方スケーリングにおいて、ガウスRBF再生カーネルヒルベルト空間(RKHS)は、大きな帯域幅制限のユークリッド空間に漸近的に等方性を持つことを示す。 このことは、RKHSの計量特性に依存するカーネルベース構造が、同様に大きな帯域幅の線形カーネルに近づくガウスRBFカーネルの結果をもたらすことを強く示唆している。 ガウスCKAの漸近挙動はこの光で理解することができる。 さらにカーネル PCA を考えると、ガウス RBF 固有値、固有射影、および主成分はすべて古典的(線型) PCA の成分に帯域幅 $σ\rightarrow \infty$ として収束することを示す。 与えられたデータ表現に対して、RKHS特徴埋め込みと2つのカーネル型の直交PCA固有フレームは、幾何的類似性変換によって漸近的に異なっており、$O \left (\fracρσ \right )^2$である。 多様なデータセットのコレクションに対する実験により、$ρ$はデータセット固有の収束挙動を最上位の方向でシンプルで信頼性の高い予測器を提供することが示された。

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