論文の概要: The Sample Complexity of Fidelity Estimation to a Known Rank-$r$ Reference State Is $\widetildeΘ(r^2/\varepsilon^2)$

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.01770v1
• Date: Mon, 03 Aug 2026 06:43:01 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-08-04 15:07:25.35955
• Title: The Sample Complexity of Fidelity Estimation to a Known Rank-$r$ Reference State Is $\widetildeΘ(r^2/\varepsilon^2)$
• Title（参考訳）: 既知ランク=r$参照状態への忠実度推定のサンプル複雑度は$\widetildez(r^2/\varepsilon^2)$である
• Authors: Gye Jin Lee, Sunghyeon Jo,
• Abstract要約: 量子スペクトル推定の精度を一定に抑えるために、ほぼ四分法以下の$widetilde(r2)$を証明した。 また、量子スペクトル推定を一定精度で行うために、ほぼ四分法以下の$widetilde(r2)$を証明した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We settle the sample complexity of estimating the root Uhlmann fidelity $F(ρ,σ)=\operatorname{tr}\sqrt{\sqrtσρ\sqrtσ}$ between an unknown state $ρ$ and a known rank-$r$ reference state $σ$. Writing $S(r,\varepsilon)$ for the sample complexity at additive error $\varepsilon$, we resolve the open problem posed by Wang by closing, up to logarithmic factors, the gap between the previously known bounds $Ω(r/\varepsilon^2)$ and $O(r^2/\varepsilon^2)$. We prove $S(r,\varepsilon)=\widetildeΘ(r^2/\varepsilon^2)$ for all $0<\varepsilon\le\varepsilon_0$, where $\varepsilon_0>0$ is a universal constant. The lower bound already holds on a $2r$-dimensional system when $σ$ is maximally mixed on a fixed $r$-dimensional subspace, and for a hard family of states that do not commute with $σ$. The proof combines exact spectral moment matching, a radially size-biased doubly correlated Wishart model, and the Cauchy identity, reducing state indistinguishability to a long-cycle estimate for a weighted random permutation. A direct-sum embedding and binomial thinning yield the optimal $1/\varepsilon^2$ dependence. We also prove a near-quadratic lower bound $\widetildeΩ(r^2)$ for quantum spectrum estimation at constant accuracy. Combined with the recent $O(r^2(\log\log r/\log r)^2)$ upper bound, this determines the polynomial order of the sample complexity in this regime and establishes a near-quadratic barrier.
• Abstract（参考訳）: 我々は、未知の状態 $ρ$ と既知のランク-$r$ の基準状態 $σ$ の間に、根 Uhlmann fidelity $F(ρ,σ)=\operatorname{tr}\sqrt{\sqrtσρ\sqrtσ} を推定するサンプルの複雑さを解決した。 S(r,\varepsilon)$ を加法誤差 $\varepsilon$ のサンプル複雑性のために書くと、Wang が引き起こす開問題を対数的因子まで閉じ、既知境界である $Ω(r/\varepsilon^2)$ と $O(r^2/\varepsilon^2)$ のギャップを埋めることによって解決する。 我々は、すべての$0<\varepsilon\le\varepsilon_0$に対して$S(r,\varepsilon)=\widetilde*(r^2/\varepsilon^2)$を証明し、$\varepsilon_0>0$は普遍定数である。 下界は、$σ$が固定された$r$-次元部分空間上で極大に混合されたときに既に2r$-次元系を持ち、$σ$と可換でない状態の厳しい族に対して成り立つ。 この証明は、正確なスペクトルモーメントマッチング、ラジアルサイズバイアスの2重相関Wishartモデル、およびコーシー・アイデンティティを組み合わせ、重み付きランダムな置換に対する長期サイクル推定に対する状態の不一致性を減少させる。 直接のサム埋め込みと二項の薄めは最適な1/\varepsilon^2$依存性をもたらす。 また、量子スペクトルを一定精度で推定するために、準四次下界$\widetildeΩ(r^2)$を証明した。 最近の$O(r^2(\log\log r/\log r)^2)$上界と組み合わせることで、この状態におけるサンプル複雑性の多項式次数を決定し、ほぼ四次障壁を確立する。

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