論文の概要: An Optimal Separation of Randomized and Quantum Query Complexity
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2008.10223v4
- Date: Sun, 29 Jan 2023 07:22:43 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-05-05 02:21:55.787686
- Title: An Optimal Separation of Randomized and Quantum Query Complexity
- Title(参考訳): ランダム化および量子化クエリの最適分離
- Authors: Alexander A. Sherstov, Andrey A. Storozhenko, and Pei Wu
- Abstract要約: すべての決定木に対して、与えられた順序 $ellsqrtbinomdell (1+log n)ell-1,$ sum to at least $cellsqrtbinomdell (1+log n)ell-1,$ where $n$ is the number of variables, $d$ is the tree depth, $c>0$ is a absolute constant。
- 参考スコア(独自算出の注目度): 67.19751155411075
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We prove that for every decision tree, the absolute values of the Fourier
coefficients of a given order $\ell\geq1$ sum to at most
$c^{\ell}\sqrt{\binom{d}{\ell}(1+\log n)^{\ell-1}},$ where $n$ is the number of
variables, $d$ is the tree depth, and $c>0$ is an absolute constant. This bound
is essentially tight and settles a conjecture due to Tal (arxiv 2019; FOCS
2020). The bounds prior to our work degraded rapidly with $\ell,$ becoming
trivial already at $\ell=\sqrt{d}.$
As an application, we obtain, for every integer $k\geq1,$ a partial Boolean
function on $n$ bits that has bounded-error quantum query complexity at most
$k$ and randomized query complexity $\tilde{\Omega}(n^{1-\frac{1}{2k}}).$ This
separation of bounded-error quantum versus randomized query complexity is best
possible, by the results of Aaronson and Ambainis (STOC 2015) and Bravyi,
Gosset, Grier, and Schaeffer (2021). Prior to our work, the best known
separation was polynomially weaker: $O(1)$ versus $\Omega(n^{2/3-\epsilon})$
for any $\epsilon>0$ (Tal, FOCS 2020).
As another application, we obtain an essentially optimal separation of
$O(\log n)$ versus $\Omega(n^{1-\epsilon})$ for bounded-error quantum versus
randomized communication complexity, for any $\epsilon>0.$ The best previous
separation was polynomially weaker: $O(\log n)$ versus
$\Omega(n^{2/3-\epsilon})$ (implicit in Tal, FOCS 2020).
- Abstract(参考訳): すべての決定木に対して、与えられた順序のフーリエ係数の絶対値は$\ell\geq1$ sum to at least $c^{\ell}\sqrt{\binom{d}{\ell}(1+\log n)^{\ell-1}},$ where $n$ is the number of variables, $d$ is the tree depth, $c>0$ is a absolute constant。
この境界は本質的に厳密であり、Tal (arxiv 2019; FOCS 2020) による予想を決着させる。
作業前のバウンダリは、$\ell,$が$\ell=\sqrt{d}ですでに自明になったことで急速に低下しました。
アプリケーションとして、すべての整数 $k\geq1,$$n$ビット上の部分ブール関数は、最大$k$で境界付きエラー量子クエリの複雑さを持ち、ランダム化されたクエリの複雑さは$\tilde{\Omega}(n^{1-\frac{1}{2k}})である。
aaronson and ambainis (stoc 2015) と bravyi, gosset, grier, schaeffer (2021) の結果により、この境界付きエラー量子とランダム化されたクエリの複雑さの分離が最良である。
我々の研究以前は、最もよく知られた分離は多項式的に弱かった: $o(1)$ vs $\omega(n^{2/3-\epsilon})$ 任意の$\epsilon>0$ (tal, focs 2020)。
別の応用として、$O(\log n)$ vs $\Omega(n^{1-\epsilon})$ for bounded-error quantum versus randomized communication complexity, for any $\epsilon>0.$ 以前の最良の分離は多項式的に弱かった: $O(\log n)$ versus $\Omega(n^{2/3-\epsilon})$ (implicit in Tal, FOCS 2020)。
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