論文の概要: On Stopping Rules and Spatial Adaptation for CART

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.15649v1
• Date: Sun, 16 Aug 2026 09:28:49 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-08-18 19:59:03.374625
• Title: On Stopping Rules and Spatial Adaptation for CART
• Title（参考訳）: CARTにおける停止規則と空間適応について
• Abstract要約: 我々は、CARTが対数係数まで最小値のポイントワイズを達成できることを証明した。 また,広く使用されている最小葉サイズ停止規則では,空間適応が達成できないことも証明した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.804240190982695
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: The popular CART algorithm for regression trees combines a greedy splitting rule with a stopping rule, but while the splitting rule has been well studied, the statistical role of stopping rules is less well understood. Meanwhile, although regression trees fit using Bayesian methods or via empirical risk minimization (ERM) have been shown to be spatially adaptive to local smoothness and anisotropy, it is unknown whether CART can achieve the same adaptation. We address these gaps by proving that, under spatially heterogeneous and anisotropic smoothness and appropriate structural assumptions on the regression function and covariate distribution, CART with the minimum impurity decrease (MID) stopping rule and a suitable threshold achieves pointwise rates that are minimax up to logarithmic factors. These rates hold simultaneously over all points in the domain. Moreover, we prove that spatial adaptation cannot be achieved under the widely used minimum leaf size stopping rule. Together, these results establish a precise statistical role for the MID stopping rule and provide a theoretical basis for the empirical success of CART.
• Abstract（参考訳）: 回帰木に対する一般的なCARTアルゴリズムは、グリーディ分割規則と停止規則を組み合わせるが、分割規則はよく研究されているが、停止規則の統計的役割はよく理解されていない。 一方、回帰木はベイズ法や経験的リスク最小化(ERM)によって局所的な滑らかさと異方性に空間的に適応することが示されているが、CARTが同じ適応を達成できるかどうかは不明である。 空間的に不均一で異方的な滑らかさと回帰関数と共変量分布の適切な構造仮定の下では、最小不純物減少(MID)停止則と適切なしきい値を持つCARTは、対数因子まで最小値のポイントワイズ率を達成することを証明して、これらのギャップに対処する。 これらの値は、ドメイン内のすべてのポイントに対して同時に保持される。 また,広範に使用されている最小限の葉の大きさ停止規則では,空間適応が達成できないことを証明する。 これらの結果は、MID停止規則の正確な統計的役割を確立し、CARTの実証的成功の理論的基盤を提供する。

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