論文の概要: Score the Algebra, Not the Span: Dimension Reduction for Transfer Operator Models of Dynamical Systems
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.18918v1
- Date: Wed, 19 Aug 2026 13:49:51 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-08-20 20:13:55.409155
- Title: Score the Algebra, Not the Span: Dimension Reduction for Transfer Operator Models of Dynamical Systems
- Title（参考訳）: 代数のスコア:力学系の伝達演算子モデルに対する次元還元
- Abstract要約: 弱い相互作用を持つコンポーネントから組み立てられたシステムでは、コンポーネントはモデル化されるよりもモデルから欠落しており、その機能を正確に予測することはできないことを示す。
代わりに、座標が生成する$-algebraをスコアし、製品とパワーが自由になり、コンポーネントのコストがジェネレータによってのみ管理されるようにすることを提案する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 48.096969031315744
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Dimension reduction for dynamical systems is standard practice, and the standard route is spectral: model the transfer (Koopman) operator by its leading modes. We show that on systems assembled from several weakly interacting components --- a structure common in physical and biological settings --- this may either require an exponential number of modes, or drop an entire component: the component is absent from the model rather than modeled coarsely, and no function of it can be predicted at any accuracy. We call this linear masking. The cause is that a rank-based model pays one coordinate per mode. We propose to score instead the $σ$-algebra the coordinates generate, so that products and powers come free and a component's cost is governed only by its generators rather than by all its interactions. The criterion is a $χ^2$-divergence between the embedded present and future, and it carries a budget guarantee: twice the intrinsic dimension of the dynamics is enough coordinates for an embedding whose algebra carries the operator's entire spectrum, with its full infinite rank. In variational form the criterion admits off-the-shelf estimators, and restricting its critic to the bilinear class returns the VAMP score on the span, so rank-based methods are one end of the same family. We demonstrate the proposed objective on a composite of published benchmark systems. We exhibit examples where the rank-based methods completely miss the masked components at all ranks $k<100$, while ten algebra coordinates recover all of them. In addition, the resulting algebra representation supports predicting the masked components from few labels, while direct regression from the high-dimensional observation or from the VAMP features fail.
- Abstract（参考訳）: 力学系の次元減少は標準的な慣行であり、標準的な経路はスペクトルであり、転送(クープマン)演算子を主モードでモデル化する。
いくつかの弱い相互作用を持つコンポーネントから組み立てられたシステム -- 物理的および生物学的な設定に共通する構造 -- において、これは指数的な数のモードを必要とするか、コンポーネント全体をドロップする可能性がある。
これを線形マスキングと呼ぶ。
理由は、ランクベースのモデルがモードごとに1つの座標を支払うからである。
代わりに、座標が生成する$σ$-algebraをスコアし、生成物とパワーが自由になり、コンポーネントのコストは、すべての相互作用によってではなく、生成物によってのみ管理されるようにすることを提案する。
力学の内在次元の2倍は、代数が作用素の全スペクトルを持ち、その完全な無限ランクを持つ埋め込みに対して十分座標である。
変分形式では、クレーターは既製の推定器を許容し、その批判を双線型クラスに限定すると、そのスパン上のVAMPスコアが返されるので、ランクベースのメソッドは同じファミリーの一端である。
提案した目的を,ベンチマークシステムの複合システム上で実証する。
階数に基づく手法がマスクされた成分を全て$k<100$で見逃し、10個の代数座標がそれらの全てを復元する例を示す。
さらに、結果の代数表現は、マスクされた成分を少数のラベルから予測することをサポートし、高次元観察やVAMP特徴からの直接回帰は失敗する。
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