論文の概要: Optimization over covariance matrices with a parameterized metric

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.17089v1
• Date: Tue, 15 Sep 2026 12:22:39 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-16 14:56:08.518928
• Title: Optimization over covariance matrices with a parameterized metric
• Title（参考訳）: パラメータ化計量を用いた共分散行列の最適化
• Abstract要約: Euclidean, Bures-Wasserstein and affine-invariant metrics は一般的な選択であるが、それらの相対効果は目的によって異なる。 XpLXq+XqLXp=U$, solve for $L$ at each tangent vector $U$。 会員の選択を特定の問題に対する特定の事前条件付けの方法として扱う。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 9.932132195107217
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The choice of Riemannian metric can strongly influence the convergence of gradient-based optimization over covariance matrices. Euclidean, Bures-Wasserstein and affine-invariant metrics are common choices, but their relative effectiveness depends on the objective. We introduce a two-parameter family defined by $X^{p}LX^{q}+X^{q}LX^{p}=U$, solved for $L$ at each tangent vector $U$, that contains all three as exact members, at $(0,0)$, $(1,0)$ and $(1,1)$, and extends past them. We treat the choice of member as a particular way of preconditioning for a given problem. To this end, we analyze the conditioning of the Riemannian Hessian at the solution. We show that it obeys a lower bound that depends on $(p,q)$ only through the exponent $r=p+q$. When the Euclidean Hessian is a pure power that mixes no eigendirections, the member $p=q=r/2$ attains that bound, and a closed-form criterion identifies the other members that do. We discuss ways to tune $r$ for a given problem. Experiments on real covariance data confirm the predicted conditioning and the benefit of tuning $r$. A task covariance example shows a further gain from tuning the shape.
• Abstract（参考訳）: リーマン計量の選択は、共分散行列に対する勾配に基づく最適化の収束に強く影響を与える。 Euclidean, Bures-Wasserstein and affine-invariant metrics は一般的な選択であるが、それらの相対効果は目的によって異なる。 我々は、X^{p}LX^{q}+X^{q}LX^{p}=U$で定義される2パラメータ族を導入し、各接ベクトル$U$で$L$を解決し、3つ全てを正会員として、$(0,0)$、$(1,0)$、$(1,1)$で、それらを超越する。 会員の選択を特定の問題に対する特定の事前条件付けの方法として扱う。 この目的のために、解におけるリーマン・ヘッセンの条件付けを分析する。 我々は、指数 $r=p+q$ を通してのみ$(p,q)$ に依存する下界に従うことを示す。 ユークリッド Hessian が固有方向を混合しない純粋なパワーであるとき、メンバー $p=q=r/2$ はその境界に達し、閉形式 criterion が他のメンバーを識別する。 与えられた問題に対して$r$をチューニングする方法について議論する。 実共分散データの実験では、予測条件と$r$のチューニングの利点が確認できる。 タスク共分散の例は、形状のチューニングによるさらなる利益を示しています。

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