論文の概要: Neural networks for spectral optimization

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.36047v1
• Date: Mon, 28 Sep 2026 18:09:39 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-30 21:28:46.928197
• Title: Neural networks for spectral optimization
• Title（参考訳）: スペクトル最適化のためのニューラルネットワーク
• Abstract要約: 領域の幾何学からスペクトルを直接学習する2つのニューラルネットワークモデルを提案する。 グラムシュミット過程は、関連する固有値とともにモデルの出力として固有関数を生成する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.2609784101826761
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Given a functional dependent on the spectrum of a differential operator, we address the problem of finding a domain which optimizes this functional. PDE solvers might be used to tackle this optimization. It is however computationally expensive. We propose two neural network models which learn the spectrum directly from the geometry of the domain and can be used to optimize the domain from one or more eigenvalues. We investigate two representations. The first encodes the domain through Fourier coefficients and a light MLP, which is efficient on star-shaped geometries, achieving a precision of 0.2\%. Through a rescaling of the coefficients the designed models satisfy the scaling law of the eigenvalues. Additionally, averaging the outputs of the trained surrogates over rotations and reflections induces invariance for these transformations. The second is a model that takes the landscape function, the indicator function and the gradient of the landscape function. A Gram-Schmidt process produces orthogonal eigenfunctions as output of the model along with the associated eigenvalues. The landscape model reaches 1\% mean relative error on the first ten eigenvalues, compared with 4\% for an FNO model. Replacing the landscape by an SDF worsened both prediction and optimization errors. The trained model also generalizes from synthetic shapes to domains given as classical image dataset. The resulting surrogates of both approaches recover classical spectral optima such as the disk for the first eigenvalue or the conjectured minima of higher eigenvalues. This confirms that our models produce accurate differentiable estimates of eigenvalues, which can be used in shape optimization problems involving spectral quantities.
• Abstract（参考訳）: 微分作用素のスペクトルに依存する関数を考えると、この関数を最適化する領域を見つけるという問題に対処する。 PDEソルバは、この最適化に取り組むために使われるかもしれない。 しかし計算上は高価である。 領域の幾何から直接スペクトルを学習し、1つ以上の固有値からドメインを最適化する2つのニューラルネットワークモデルを提案する。 2つの表現について検討する。 第1の領域はフーリエ係数と、恒星の形をしたジオメトリーで効率よく、0.2\%の精度で領域を符号化する。 係数の再スケーリングにより、設計されたモデルは固有値のスケーリング則を満たす。 さらに、訓練されたサロゲートの出力を平均化し、反射はこれらの変換の不変性を誘導する。 2つ目は、ランドスケープ関数、インジケータ関数、およびランドスケープ関数の勾配をとるモデルである。 グラムシュミット過程は、関連する固有値とともにモデルの出力として直交固有関数を生成する。 最初の10個の固有値の平均相対誤差は,FNOモデルでは4\%であるのに対し,ランドスケープモデルの平均相対誤差は1\%に達する。 SDFによるランドスケープのリプレースにより、予測と最適化の両方のエラーが悪化した。 トレーニングされたモデルは、合成形状から古典的な画像データセットとして与えられる領域まで一般化する。 両方のアプローチの結果のサロゲートは、第一固有値の円板や、より高い固有値の予想最小値のような古典的なスペクトル最適化を復元する。 これにより, スペクトル量を含む形状最適化問題に利用できる固有値の正確な微分可能な推定値が得られた。

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