論文の概要: The exact LCU sampling overhead of collective diagonal unitaries: resonances and a continued-fraction dichotomy

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.03595v1
• Date: Fri, 02 Oct 2026 17:00:56 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-06 00:14:30.498186
• Title: The exact LCU sampling overhead of collective diagonal unitaries: resonances and a continued-fraction dichotomy
• Title（参考訳）: 集団対角ユニタリの正確なLCUサンプリングオーバーヘッド--共鳴法と連続断裂切開法
• Abstract要約: 我々は、置換対称ハミング重みのような等間隔スペクトルの集合を$K$で2次集合位相$e-iK2$を実装するコストを考える。 2キュービットゲートの代わりに、1キュービットの回転層(LCU)の線形結合として、オーバーヘッド$$2でサンプリングすることができる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.3103140360817473
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We consider the cost of implementing the quadratic collective phase $e^{-iγK^2}$, with $K$ a collective observable of evenly spaced spectrum, such as the permutation-symmetric Hamming weight. This gate is the cardinality-penalty layer of constrained quantum optimization, the one-axis-twisting gate of spin squeezing and the Kerr phase of a bosonic mode. Instead of two-qubit gates, it can be sampled as a linear combination of single-qubit rotation layers (an LCU) at an overhead $Γ$. We determine the minimal overhead. Ancilla-free sampling of the layers reproduces the target's outcome probabilities up to this factor, and no smaller factor works for every input; when $K$ is permutation symmetric, arbitrary single-qubit gates do no better. The minimal overhead's growth with the register size $n$ is set by the continued fraction of $γ/π$: rational angles $πp/q$ in lowest terms cost exactly $Γ=q$ for every $n\ge2q-2$; the cost is $Θ(n)$ if and only if $γ/π$ is badly approximable; and a master formula, proved two-sided near low-denominator rationals, reads it off the nearest one. Without the symmetry the cost over single-qubit gates can be exponential: for the binary-weighted $K=\sum_j2^jx_j$ the squaring phase of Fourier arithmetic on $m$ qubits costs at least $2^{0.557m-O(1)}$, beyond the $2^{m/2}$ ceiling of every cut bound, by a new certificate-lifting argument. The Fourier-based LCU of Carrera Vazquez, Egger and Woerner (2026), which guarantees $Γ\le n+1$, is optimal up to a constant factor at typical angles at fixed $n$; at rational angles the unique optimizer is the fractional-revival decomposition of Kerr optics, a recipe independent of $n$. In bosonic simulation, the Kerr-gate phase-shifter decomposition of Upreti, Quesada and Chabaud (2026) is the unique optimum over phase shifters, and a finite-cost one exists only at rational $γ/π$.
• Abstract（参考訳）: 2次集合位相 $e^{-iγK^2}$ を、置換対称ハミング重みのような等間隔スペクトルの集合可観測値$K$ で実装するコストを考える。 このゲートは、制約量子最適化の濃度-ペナルティ層、スピンスクイーズの一軸-ツイストゲート、ボソニックモードのカー位相である。 2キュービットゲートの代わりに、1キュービットの回転層(LCU)の線形結合として、オーバーヘッド$$$でサンプリングすることができる。 我々は最小限のオーバーヘッドを決定する。 層をアンシラのないサンプリングは、この因子までターゲットの結果確率を再現し、全ての入力に対して小さな因子は役に立たない:$K$が置換対称であるとき、任意の単一ビットゲートは良くない。 レジスタサイズが$n$の最小オーバーヘッドは、$γ/π$の連続的な分数によって設定される: 有理角$πp/q$ 最低項では、すべての$n\ge2q-2$に対して、正確に$ ==q$ となる。 2次重み付き$K=\sum_j2^jx_j$$$m$ qubits上のフーリエ算術のスクアリング位相は、すべてのカット境界の天井である2^{0.557m-O(1)$を超える少なくとも2^{0.557m-O(1)$である。 Carrera Vazquez, Egger and Woerner (2026) のフーリエ基底 LCU (Fourier-based LCU of Carrera Vazquez, Egger and Woerner) は、$\le n+1$ を保証し、固定された$n$ の典型的な角度における定数係数まで最適である。 ボソニックシミュレーションでは、Upreti, Quesada and Chabaud (2026) のカーゲート位相シフト器分解は位相シフト器に対する一意の最適化であり、有限コストのものは有理な$γ/π$でしか存在しない。

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