論文の概要: Degree Bounds for Separating Polynomial and Neural Invariants for Point Clouds

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.26612v1
• Date: Mon, 19 Oct 2026 15:47:18 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-23 02:19:40.810018
• Title: Degree Bounds for Separating Polynomial and Neural Invariants for Point Clouds
• Title（参考訳）: 点雲の多項式不変量とニューラル不変量の分離境界
• Abstract要約: MACEは局所正規点雲を分離するために高次表現を計算可能であることを示す。 また、メッセージパッシングベースのモデルにより、ポイントクラウドの分離が達成できることを示す。 我々は、MACEが局所正則点雲を分離するために高次既約表現を計算しなければならないことを示す反例を提供する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 17.315469887814796
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Neural networks that respect the symmetries of point clouds commonly compute high-order representations of the rotation group to improve their expressivity. Such models are known to be universal, and thus able to separate any pair of point clouds, when using representations of sufficiently high order, yet no precise bound on this order, as a function of the number of points, was previously known. We establish the first quadratic lower and upper degree bounds for polynomials that separate point clouds of n points up to rotations and permutations. By showing Tensor Field Networks and MACE can express all invariant polynomials of a given degree with sufficient representation order, we additionally derive the first explicit, quadratic bound on the representation order sufficient for these architectures to be complete, replacing previous existence results with concrete guarantees. We further show that, under local regularity assumptions, point cloud separation can be achieved with a message-passing-based model using invariants whose degree depends only on the size of a local neighborhood, rather than on the size of the full point cloud. Finally, we provide counterexamples showing MACE must compute high order irreducible representations to separate locally regular point clouds.
• Abstract（参考訳）: 点雲の対称性を尊重するニューラルネットワークは、通常、回転群の高次表現を計算し、その表現性を改善する。 このようなモデルは普遍的であることが知られており、それ故に、十分に高次の表現を使用するとき、任意の点雲の対を分離することができるが、点数の関数として、この順序の正確な境界は、以前は知られていた。 我々は、n 個の点の雲を回転と置換まで分離する多項式に対して、最初の2次下限と上階境界を確立する。 テンソル場ネットワークと MACE は、与えられた次数のすべての不変多項式を十分な表現順序で表現できることを示すことにより、これらのアーキテクチャが完備になるのに十分な表現順序に関する最初の明示的二次境界を導出し、以前の存在結果を具体的な保証に置き換える。 さらに、局所正規性仮定の下では、全点雲の大きさよりも局所近傍の大きさに依存する不変量を用いたメッセージパスベースモデルにより、点雲分離が達成可能であることを示す。 最後に、MACEが局所正則点雲を分離するために高次既約表現を計算しなければならないことを示す反例を提供する。

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