論文の概要: Breaking the high-degree barrier in Lehmer's problem with a human-AI discovery loop

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.30277v1
• Date: Wed, 21 Oct 2026 18:00:51 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-24 02:08:44.093868
• Title: Breaking the high-degree barrier in Lehmer's problem with a human-AI discovery loop
• Title（参考訳）: 人間-AI発見ループによるレーマー問題における高次障壁の破滅
• Abstract要約: 1933年からのリーマーの問題は、その根が単位円からどのくらい離れているかを測定する整数のマフラー測度を任意に小さくすることができるかどうかを問うものである。 本稿では,人間のAI発見ループを介し,高速な数値パイプライン,正確な記号検証,大規模分散探索によって会話のプロンプトを拡張する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.8286876444029327
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: While artificial intelligence has made rapid progress in mathematical reasoning, many open problems depend on structure that is revealed only through large-scale computational exploration and analytical synthesis. One such example is Lehmer's problem from 1933. It asks whether the Mahler measure of an integer polynomial, which measures how far its roots stray from the unit circle, can be made arbitrarily small. Previously, constructing irreducible polynomials with integer coefficients and small Mahler measure has been carried out systematically only for even degrees $d \le 180$. At higher degrees, Boyd's analytical one-parameter family frequently factors, skipping nearly 50% of target degrees and leaving no general construction for arbitrary $d$. Here, we address the high-degree regime through a human-AI discovery loop, in which we extend the conversational prompting with a fast numerical pipeline, an exact symbolic verifier, and large-scale distributed search. The AI agent prototypes numerical and symbolic solvers locally, launches parallel searches across distributed clusters and works with the human researcher to extract and verify mathematical hypotheses. Through this interactive loop, we derive a five-parameter construction, which we call the Generalized Boyd algorithm. It eliminates degree-skipping and constructs irreducible polynomials with Mahler measure strictly below Boyd's limit point $α_1 \approx 1.255434$ for every target degree. Evaluated across all even degrees up to 2000, our approach improves upon six previously published values and holds 99.6% of all best known records. With this work we release the verified dataset of polynomials with minimal Mahler measure across all studied even degrees.
• Abstract（参考訳）: 人工知能は数学的推論において急速に進歩してきたが、多くのオープンな問題は大規模計算探索と解析合成によってのみ明らかにされる構造に依存している。 そのような例の1つは、1933年のリーマーの問題である。 これは、その根が単位円からどのくらい離れているかを測定する整数多項式のマフラー測度を任意に小さくすることができるかどうかを問うものである。 これまで、整数係数と小さなマーラー測度を持つ既約多項式の構成は、偶数$d \le 180$に対してのみ体系的に行われている。 より高いレベルでは、ボイドの分析的な1パラメータファミリーがしばしば要因となり、目標の50%近くをスキップし、任意の$d$に対する一般的な構成は残されていない。 本稿では,人間のAI発見ループを介し,高速な数値パイプライン,正確な記号検証,大規模分散探索によって会話のプロンプトを拡張する。 このAIエージェントは、数値と記号の解法をローカルにプロトタイプし、分散クラスタをまたいだ並列検索をローンチし、人間の研究者と協力して数学的仮説を抽出し検証する。 この対話的ループを通じて、一般化ボイドアルゴリズムと呼ばれる5パラメータの構成を導出する。 次数スキッピングを排除し、すべての対象次数に対して、マフラー測度はボイドの極限点 $α_1 \approx 1.255434$ より真に下回る既約多項式を構成する。 2000年までのあらゆる等級で評価され、我々の手法はこれまでに公表された6つの値を改善し、最もよく知られた記録の99.6%を保持する。 この研究により、すべての研究された偶数次数にわたって最小のマフラー測度を持つ多項式の検証されたデータセットを解放する。

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