論文の概要: Wasserstein approximation of measures via orthogonal frames: statistical and computational complexities

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.36581v1
• Date: Tue, 27 Oct 2026 03:36:48 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-28 21:04:31.476186
• Title: Wasserstein approximation of measures via orthogonal frames: statistical and computational complexities
• Title（参考訳）: 直交フレームによる測度のワッサーシュタイン近似:統計および計算複雑性
• Abstract要約: PCAのような次元還元法は、データ内のほとんどの変動をキャプチャする部分空間を識別するが、その内部では区別されていない。 We pose this task as Wasserstein approximation of the data distribution。 軽微な仮定では,経験的リスク最小化法と局所勾配法の両方が,ほぼ最適速度で個体群・最適フレームを回復することを示した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.4906300053327834
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Dimension-reduction methods such as PCA identify a subspace capturing most of the variation in the data, but not a distinguished basis within it. Selecting a basis in which the samples are sparsely represented is a recurring task in unsupervised learning, addressed by methods in factor analysis, dictionary learning, and subspace clustering. We pose this task as Wasserstein approximation of the data distribution by measures supported on the axes of an orthogonal frame, which, in turn, reduces to a nonsmooth optimization problem over the orthogonal group $\mathrm{O}(d)$. We show that, under mild assumptions, both empirical risk minimizers and a locally initialized stochastic gradient method recover the population-optimal frame at the near-parametric rate $\widetilde{O}_d(n^{-1/2})$, where $n$ is the sample size. The main difficulty is that, although the population objective is smooth, the empirical objective is not-this mismatch precludes standard covering arguments. We overcome this issue by replacing Lipschitz continuity of the empirical gradient with a coarsely Lipschitz bound, a tool that may be of independent interest. Numerical experiments support our theoretical findings.
• Abstract（参考訳）: PCAのような次元還元法は、データ内のほとんどの変動をキャプチャする部分空間を識別するが、その内部では区別されていない。 サンプルが疎結合に表現される基盤を選択することは、因子分析、辞書学習、サブスペースクラスタリングの手法によって解決される教師なし学習における繰り返しタスクである。 直交フレームの軸に支持される測度によるデータ分布のワッサーシュタイン近似としてこのタスクを施すと、直交群 $\mathrm{O}(d)$ 上の非滑らかな最適化問題に還元される。 軽微な仮定では、経験的リスク最小化法と局所初期化確率勾配法の両方が、標本サイズが$n$である場合、近パラメトリック速度$\widetilde{O}_d(n^{-1/2})$で、集団最適フレームを復元することを示した。 主な難点は、人口目標がスムーズであるにもかかわらず、実証的な目的は、このミスマッチが標準的な議論を妨げているわけではないことである。 我々は、経験的勾配のリプシッツ連続性を粗いリプシッツ境界に置き換えることでこの問題を克服する。 数値実験は理論的な結果を裏付ける。

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