論文の概要: Regression Functions as Fields on Covariate Space: Evolution Equations, the Hessian, and Identification

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.37500v1
• Date: Tue, 27 Oct 2026 16:24:10 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-28 21:04:31.6896
• Title: Regression Functions as Fields on Covariate Space: Evolution Equations, the Hessian, and Identification
• Title（参考訳）: 共変量空間の場としての回帰関数:進化方程式、ヘシアン、同定
• Abstract要約: m_t$ は拡散項が $frac12mathrmtr(nabla2 m_t)$ である 2階進化方程式を満たすことを示す。 我々は方程式に現れるヘシアンを二次回帰によって推定されるヘシアンと接続する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: For each time $t$, the regression function $m_t(x)=E[Y_t\mid X_t=x]$ of an outcome on contemporaneous covariates can be regarded as a field on covariate space. We study how this field evolves when the covariates of individual units move as a diffusion and the outcome attached to each unit changes according to its own dynamics. Under mild regularity we show that $m_t$ satisfies a second-order evolution equation whose diffusion term is $\frac12\mathrm{tr}(Σ\nabla^2 m_t)$, the trace of the Hessian of the regression function weighted by the instantaneous covariance $Σ$ of the covariate increments, whose transport term is the drift of the time-reversed covariate process, and whose source term is the conditional mean rate of change of the outcome. The equation is a regression-theoretic reading of a classical transport law, and it yields a Feynman-Kac representation of $m_t$ along reversed covariate paths. We connect the Hessian appearing in the equation to the Hessian estimated by quadratic regression (under Gaussian design the best quadratic approximation has Hessian $E[\nabla^2 m(X)]$ exactly) and to the leading bias of kernel smoothers. For binary outcomes governed by bistable replicator dynamics with imitation among units with similar covariates, the closed equation is of Nagumo type, its planar travelling fronts are exactly logistic in $(x,t)$, and a single logistic regression of the outcome on covariates and time identifies the ratio of diffusion to reaction and the direction of invasion. We discuss identification under panel versus repeated cross-sectional designs and a two-stage estimation strategy, and we illustrate the results with simulations.
• Abstract（参考訳）: それぞれの時間$t$に対して、同次共変量に対する結果の回帰関数 $m_t(x)=E[Y_t\mid X_t=x]$ は共変量空間上の体と見なすことができる。 個々の単位の共変体が拡散として動き、各単位に付随する結果が自身のダイナミクスに従って変化するとき、この場がどのように進化するかを研究する。 穏やかな正則性の下で、$m_t$ は拡散項が $\frac12\mathrm{tr}(Σ\nabla^2 m_t)$ である2階進化方程式を満たすことを示す。 この方程式は古典的輸送法則の回帰論的読解であり、逆共変経路に沿って$m_t$のファインマン・カック表現を生成する。 方程式に現れるヘシアンを、二次回帰によって推定されるヘシアン(ガウスの設計の下では、最もよい二次近似は、Hessian $E[\nabla^2 m(X)]$である)と、カーネルスムーダーの先頭バイアスとを結びつける。 同様の共変量を持つ単位間の模倣を伴う双安定複製子ダイナミクスによって支配される二項結果に対して、閉方程式はナグモ型であり、その平面進行フロントは正確に$(x,t)$でロジスティックであり、共変量と時間に対する結果の単一のロジスティック回帰は、反応と侵入の方向への拡散の比を識別する。 本稿では,パネルと断面設計の繰り返しによる識別と2段階推定戦略について論じ,シミュレーションによる結果について述べる。

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