論文の概要: Reproducing Kernel (Quasi-)Banach Spaces with the $\ell^p$ Coefficient Norms

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2611.08032v1
• Date: Thu, 05 Nov 2026 13:52:28 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-11-07 04:55:13.524727
• Title: Reproducing Kernel (Quasi-)Banach Spaces with the $\ell^p$ Coefficient Norms
• Title（参考訳）: $\ell^p$係数ノルムを用いたカーネル(Quasi-)バナッハ空間の再生
• Abstract要約: この研究は、Generalellp$正規化定理を研究することにより、カーネルバナッハ空間(RKBSs)の理論を前進させる。 p1$の場合、辞書を用いてRKBSを構築し、オフサンプル辞書を通して最適な緩和表現因子を識別する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.345882429229813
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: This paper advances the theory of reproducing kernel Banach spaces (RKBSs) by investigating the general $\ell^p$ regularization framework, with a particular focus on the non-convex regime $0<p<1$. While our preceding work established the foundation for RKBSs with the $\ell^1$ norm, the pursuit of stronger sparsity---closer to the $\ell^0$ pseudo-norm---naturally motivates this exploration into $\ell^p$ quasi-norms. For $0<p<1$, we construct reproducing kernel quasi-Banach spaces (RKQBSs) with $\ell^p$ quasi-norms and establish existence and sparsity results for interpolation and regularized learning under appropriate assumptions. We characterize the linear and relaxed representer theorems in terms of a generalized Lebesgue constant and derive bounds under kernel decay, sample spacing, and stability assumptions. For $p>1$, we construct RKBSs using a fixed countable dictionary, establish minimizer existence, and identify the optimal relaxed representer factor through an off-sample coefficient operator. These results reveal fundamental differences between the regimes $0<p<1$, $p=1$, and $p>1$. Numerical experiments compare the accuracy and sparsity of solutions for these three cases.
• Abstract（参考訳）: 本稿では、一般の$\ell^p$正規化フレームワークを調べることにより、カーネルバナッハ空間(RKBSs)の再現理論を前進させ、特に非凸状態の$0<p<1$に焦点をあてる。 我々の以前の研究は、RKBSsの基盤を$\ell^1$ノルムで確立したが、より強い空間性の追求--$\ell^0$ pseudo-norm---------自然に、この探索を$\ell^p$ quasi-norms へと動機付ける。 0<p<1$の場合、我々は$\ell^p$ quasi-normsでカーネル準バナッハ空間(RKQBSs)を再現し、適切な仮定の下で補間および正規化学習のための存在とスパース性を確立する。 我々は、一般化されたルベーグ定数と核崩壊、サンプルスペーシング、安定性仮定の下での導出境界という観点から線形で緩和された表現定理を特徴づける。 p>1$ の場合、固定可算辞書を用いて RKBS を構築し、最小限の存在を確立し、オフサンプル係数演算子を通して最適緩和表現因子を同定する。 これらの結果から, 0<p<1$, $p=1$, $p>1$ の根本的差異が明らかとなった。 数値実験はこれらの3症例の解の精度と空間性を比較する。

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