論文の概要: Evaluation of exponential sums and Riemann zeta function on quantum computer

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2002.11094v1
• Date: Tue, 25 Feb 2020 18:45:40 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-06-01 23:56:17.298596
• Title: Evaluation of exponential sums and Riemann zeta function on quantum computer
• Title（参考訳）: 量子コンピュータにおける指数和とリーマンゼータ関数の評価
• Authors: Sandeep Tyagi
• Abstract要約: 量子コンピュータ(QC)を用いて、初期方程式* S(f, N)= sum_k=0N-1 sqrtw_k e2 pi i f(k), endequation* の指数和(ES)を効率的に行うことができることを示す。 QC 上で $lvert S(f,N) rvert$ を直接見つける方法を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We show that exponential sums (ES) of the form \begin{equation*} S(f, N)= \sum_{k=0}^{N-1} \sqrt{w_k} e^{2 \pi i f(k)}, \end{equation*} can be efficiently carried out with a quantum computer (QC). Here $N$ can be exponentially large, $w_k$ are real numbers such that sum $S_w(M)=\sum_{k=0}^{M-1} w_k$ can be calculated in a closed form for any $M$, $S_w(N)=1$ and $f(x)$ is a real function, that is assumed to be easily implementable on a QC. As an application of the technique, we show that Riemann zeta (RZ) function, $\zeta(\sigma+ i t)$ in the critical strip, $\{0 \le \sigma <1, t \in \mathbb{R} \}$, can be obtained in polyLog(t) time. In another setting, we show that RZ function can be obtained with a scaling $t^{1/D}$, where $D \ge 2$ is any integer. These methods provide a vast improvement over the best known classical algorithms; best of which is known to scale as $t^{4/13}$. We present alternative methods to find $\lvert S(f,N) \rvert$ on a QC directly. This method relies on finding the magnitude $A=\lvert \sum_0^{N-1} a_k \rvert$ of a $n$-qubit quantum state with $a_k$ as amplitudes in the computational basis. We present two different ways to do obtain $A$. Finally, a brief discussion of phase/amplitude estimation methods is presented.
• Abstract（参考訳）: S(f, N)= \sum_{k=0}^{N-1} \sqrt{w_k} e^{2 \pi i f(k)}, \end{equation*} の指数和(ES)を量子コンピュータ(QC)で効率的に行うことができることを示す。 ここで$n$ は指数関数的に大きくなり、$w_k$ は実数であり、sum $s_w(m)=\sum_{k=0}^{m-1} w_k$ は任意の$m$、$s_w(n)=1$、$f(x)$ は実関数であり、qc上で容易に実装できると仮定される。 この手法の適用例として、臨界ストリップにおけるリーマンゼータ (RZ) 関数 $\zeta(\sigma + i t)$, $\{0 \le \sigma <1, t \in \mathbb{R} \}$ がpolyLog(t) 時間で得られることを示す。 別の設定では、RZ 関数はスケーリング $t^{1/D}$ で得ることができ、$D \ge 2$ は任意の整数である。 これらの方法は、よく知られた古典的アルゴリズムよりも大幅に改善され、多くは$t^{4/13}$としてスケールすることが知られている。 qc 上で直接$\lvert s(f,n) \rvert$を求めるための代替法を提案する。 この方法は、計算基底の振幅として$a_k$を持つ$n$-量子ビット量子状態の等級$a=\lvert \sum_0^{n-1} a_k \rvert$を求めることに依拠する。 A$を得るには2つの異なる方法を提示します。 最後に,位相/振幅推定法について簡単な考察を行った。

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