論文の概要: Low-degree learning and the metric entropy of polynomials

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2203.09659v4
• Date: Mon, 21 Oct 2024 18:58:20 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-10-23 14:25:52.438134
• Title: Low-degree learning and the metric entropy of polynomials
• Title（参考訳）: 低次学習と多項式の計量エントロピー
• Authors: Alexandros Eskenazis, Paata Ivanisvili, Lauritz Streck,
• Abstract要約: 少なくとも$Omega(sqrtvarepsilon)2dlog n leq log mathsfM(mathscrF_n,d,|cdot|_L,varepsilon)は2辺の推定値$c(1-varepsilon)2dlogを満たす。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 44.99833362998488
• License:
• Abstract: Let $\mathscr{F}_{n,d}$ be the class of all functions $f:\{-1,1\}^n\to[-1,1]$ on the $n$-dimensional discrete hypercube of degree at most $d$. In the first part of this paper, we prove that any (deterministic or randomized) algorithm which learns $\mathscr{F}_{n,d}$ with $L_2$-accuracy $\varepsilon$ requires at least $\Omega((1-\sqrt{\varepsilon})2^d\log n)$ queries for large enough $n$, thus establishing the sharpness as $n\to\infty$ of a recent upper bound of Eskenazis and Ivanisvili (2021). To do this, we show that the $L_2$-packing numbers $\mathsf{M}(\mathscr{F}_{n,d},\|\cdot\|_{L_2},\varepsilon)$ of the concept class $\mathscr{F}_{n,d}$ satisfy the two-sided estimate $$c(1-\varepsilon)2^d\log n \leq \log \mathsf{M}(\mathscr{F}_{n,d},\|\cdot\|_{L_2},\varepsilon) \leq \frac{2^{Cd}\log n}{\varepsilon^4}$$ for large enough $n$, where $c, C>0$ are universal constants. In the second part of the paper, we present a logarithmic upper bound for the randomized query complexity of classes of bounded approximate polynomials whose Fourier spectra are concentrated on few subsets. As an application, we prove new estimates for the number of random queries required to learn approximate juntas of a given degree, functions with rapidly decaying Fourier tails and constant depth circuits of given size. Finally, we obtain bounds for the number of queries required to learn the polynomial class $\mathscr{F}_{n,d}$ without error in the query and random example models.
• Abstract（参考訳）: f:\{-1,1\}^n\to[-1,1]$ を次数 $n$-次元離散ハイパーキューブの次数$d$ のクラスとする。 この論文の前半では、$\mathscr{F}_{n,d}$と$L_2$-accuracy$\varepsilon$が少なくとも$\Omega((1-\sqrt{\varepsilon})2^d\log n)$のクエリを必要とすることを証明し、このシャープネスをエスケナジスとイヴァニスヴィリの最近の上界の$n\to\infty$として確立する。 これを実現するために、$L_2$-packing number $\mathsf{M}(\mathscr{F}_{n,d},\|\cdot\|_{L_2},\varepsilon)$ of the concept class $\mathscr{F}_{n,d}$ satisfy the two-sided estimate $$c(1-\varepsilon)2^d\log n \leq \log \mathsf{M}(\mathscr{F}_{n,d},\|\cdot\|_{L_2},\varepsilon) \leq \frac{2^{Cd}\log n}{\varepsilon^4}$$$$$n for enough $n, $c, 0, $c, $0, $c, $0 を満足することを示した。 論文の第2部では、フーリエスペクトルが少数の部分集合に集中している有界近似多項式のクラスにおけるランダム化クエリ複雑性に対する対数上界について述べる。 応用として、与えられた次数の近似ジャンタの学習に必要なランダムなクエリ数、急速に崩壊するフーリエテールと所定の大きさの一定深さ回路の関数について、新しい推定値を示す。 最後に、多項式クラス $\mathscr{F}_{n,d}$ を学ぶのに必要なクエリ数について、クエリとランダムな例モデルでエラーのない境界を得る。

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