論文の概要: Continuum Limit of Lipschitz Learning on Graphs
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2012.03772v2
- Date: Wed, 3 Feb 2021 17:07:44 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2021-05-16 21:33:31.439473
- Title: Continuum Limit of Lipschitz Learning on Graphs
- Title（参考訳）: グラフ上のリプシッツ学習の継続限界
- Authors: Tim Roith, Leon Bungert
- Abstract要約: 我々は$Gamma$-convergenceを使ってLipschitz学習の連続的限界を証明する。
最小化の収束を意味する関数のコンパクト性を示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Tackling semi-supervised learning problems with graph-based methods have
become a trend in recent years since graphs can represent all kinds of data and
provide a suitable framework for studying continuum limits, e.g., of
differential operators. A popular strategy here is $p$-Laplacian learning,
which poses a smoothness condition on the sought inference function on the set
of unlabeled data. For $p<\infty$ continuum limits of this approach were
studied using tools from $\Gamma$-convergence. For the case $p=\infty$, which
is referred to as Lipschitz learning, continuum limits of the related
infinity-Laplacian equation were studied using the concept of viscosity
solutions.
In this work, we prove continuum limits of Lipschitz learning using
$\Gamma$-convergence. In particular, we define a sequence of functionals which
approximate the largest local Lipschitz constant of a graph function and prove
$\Gamma$-convergence in the $L^\infty$-topology to the supremum norm of the
gradient as the graph becomes denser. Furthermore, we show compactness of the
functionals which implies convergence of minimizers. In our analysis we allow a
varying set of labeled data which converges to a general closed set in the
Hausdorff distance. We apply our results to nonlinear ground states and, as a
by-product, prove convergence of graph distance functions to geodesic distance
functions.
- Abstract（参考訳）: グラフがあらゆる種類のデータを表現でき、例えば微分作用素の連続極限を研究するのに適したフレームワークを提供するため、グラフに基づく手法による半教師付き学習問題への対処は近年トレンドとなっている。
一般的な戦略は$p$-laplacian learningで、ラベルなしデータのセットで求めた推論関数に滑らかさ条件を与える。
このアプローチの連続極限である$p<\infty$は、$\Gamma$-convergenceのツールを用いて研究された。
リプシッツ学習と呼ばれる$p=\infty$の場合、関連する無限大-ラプラシアン方程式の連続極限は粘性解の概念を用いて研究された。
本研究では,$\gamma$-convergenceを用いてリプシッツ学習の連続限界を証明する。
特に、グラフ関数の最大の局所リプシッツ定数を近似する関数列を定義し、グラフがより密になるにつれて勾配の超越ノルムに対する$l^\infty$位相論において$\gamma$-convergenceを証明する。
さらに、最小化器の収束を意味する関数のコンパクト性を示す。
我々の分析では、ハウスドルフ距離の一般閉集合に収束する様々なラベル付きデータの集合を許容する。
その結果を非線形基底状態に適用し,その副産物として測地距離関数へのグラフ距離関数の収束を証明する。
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