論文の概要: No-substitution k-means Clustering with Adversarial Order

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2012.14512v1
• Date: Mon, 28 Dec 2020 22:35:44 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-04-19 12:28:06.353749
• Title: No-substitution k-means Clustering with Adversarial Order
• Title（参考訳）: 逆順序を持つ非置換k平均クラスタリング
• Authors: Robi Bhattacharjee and Michal Moshkovitz
• Abstract要約: 任意の順序で到着するデータセットのクラスタリングの難しさを定量化する新しい複雑性尺度を提案する。 我々の新しいアルゴリズムは、$textpoly(klog(n))$centerのみを取り、$textpoly(k)$-approximationです。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.706058694927613
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We investigate $k$-means clustering in the online no-substitution setting when the input arrives in \emph{arbitrary} order. In this setting, points arrive one after another, and the algorithm is required to instantly decide whether to take the current point as a center before observing the next point. Decisions are irrevocable. The goal is to minimize both the number of centers and the $k$-means cost. Previous works in this setting assume that the input's order is random, or that the input's aspect ratio is bounded. It is known that if the order is arbitrary and there is no assumption on the input, then any algorithm must take all points as centers. Moreover, assuming a bounded aspect ratio is too restrictive -- it does not include natural input generated from mixture models. We introduce a new complexity measure that quantifies the difficulty of clustering a dataset arriving in arbitrary order. We design a new random algorithm and prove that if applied on data with complexity $d$, the algorithm takes $O(d\log(n) k\log(k))$ centers and is an $O(k^3)$-approximation. We also prove that if the data is sampled from a ``natural" distribution, such as a mixture of $k$ Gaussians, then the new complexity measure is equal to $O(k^2\log(n))$. This implies that for data generated from those distributions, our new algorithm takes only $\text{poly}(k\log(n))$ centers and is a $\text{poly}(k)$-approximation. In terms of negative results, we prove that the number of centers needed to achieve an $\alpha$-approximation is at least $\Omega\left(\frac{d}{k\log(n\alpha)}\right)$.
• Abstract（参考訳）: 入力が \emph{arbitrary} 順に届くとき、オンラインの非置換設定で$k$-meansクラスタリングを調べる。 この設定では、点が次々に到達し、次の点を観測する前に現在の点を中心とするかどうかを即座に決定する必要がある。 決定は無効である。 目標は、センターの数と$k$-meansのコストを最小化することだ。 この設定における以前の作業は、入力の順序がランダムであるか、または入力のアスペクト比が境界であると仮定していた。 順序が任意であり、入力に仮定がない場合、任意のアルゴリズムが全ての点を中心としなければならないことが知られている。 さらに、境界アスペクト比が制限的すぎると仮定すると、混合モデルから生成された自然な入力は含まれない。 任意の順序で到着するデータセットのクラスタリングの難しさを定量化する新しい複雑性尺度を提案する。 我々は、新しいランダムアルゴリズムを設計し、複雑さを$d$とするデータに適用すると、アルゴリズムは$O(d\log(n) k\log(k))$centerを取り、$O(k^3)$-approximationであることを示す。 また、データが$k$ gaussian の混合のような ``natural" 分布からサンプリングされた場合、新しい複雑性測度は $o(k^2\log(n))$ に等しいことが証明される。 これは、これらの分布から生成されたデータに対して、我々の新しいアルゴリズムは$\text{poly}(k\log(n))$centerのみを取り、$\text{poly}(k)$-approximationであることを意味する。 負の結果に関して、$\alpha$-近似を達成するために必要な中心の数が少なくとも$\Omega\left(\frac{d}{k\log(n\alpha)}\right)$であることを証明する。

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