論文の概要: Sharp Global Guarantees for Nonconvex Low-rank Recovery in the Noisy Overparameterized Regime

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2104.10790v3
• Date: Tue, 06 May 2025 17:29:39 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-05-07 18:50:10.81086
• Title: Sharp Global Guarantees for Nonconvex Low-rank Recovery in the Noisy Overparameterized Regime
• Title（参考訳）: 雑音過度レジームにおける非凸低ランク回復のためのシャープグローバル保証
• Authors: Richard Y. Zhang,
• Abstract要約: 本稿では,従来の競合する2つのアプローチを統一し,単純化し,強化する新しい証明手法を提案する。 近2次点が,より高価な凸法と同じミニマックス回復限界を達成することを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 10.787390511207683
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Recent work established that rank overparameterization eliminates spurious local minima in nonconvex low-rank matrix recovery under the restricted isometry property (RIP). But this does not fully explain the practical success of overparameterization, because real algorithms can still become trapped at nonstrict saddle points (approximate second-order points with arbitrarily small negative curvature) even when all local minima are global. Moreover, the result does not accommodate for noisy measurements, but it is unclear whether such an extension is even possible, in view of the many discontinuous and unintuitive behaviors already known for the overparameterized regime. In this paper, we introduce a novel proof technique that unifies, simplifies, and strengthens two previously competing approaches -- one based on escape directions and the other based on the inexistence of counterexample -- to provide sharp global guarantees in the noisy overparameterized regime. We show, once local minima have been converted into global minima through slight overparameterization, that near-second-order points achieve the same minimax-optimal recovery bounds (up to small constant factors) as significantly more expensive convex approaches. Our results are sharp with respect to the noise level and the solution accuracy, and hold for both the symmetric parameterization $XX^{T}$, as well as the asymmetric parameterization $UV^{T}$ under a balancing regularizer; we demonstrate that the balancing regularizer is indeed necessary.
• Abstract（参考訳）: 近年の研究では,制限等尺性(RIP)下での非凸低ランク行列回復において,ランク過度化が急激な局所最小値を排除することが確認されている。 実アルゴリズムは、すべての局所ミニマが大域的である場合でも、非制限サドル点(任意に小さい負の曲率を持つ二階点)に閉じ込められることがあるからである。 さらに、この結果はノイズ測定には適していないが、既に過度にパラメータ化された状態で知られている多くの不連続かつ直観的な行動の観点から、そのような拡張が可能かどうかは不明である。 本稿では,2つの競合するアプローチを統一し,単純化し,強化する新しい証明手法を提案する。 局所最小値がわずかに過度なパラメータ化によって大域的最小値に変換されると、近2次点は同じミニマックス最適リカバリ境界(小さな定数要素まで)を、はるかに高価な凸アプローチとして達成できることが示される。 我々の結果はノイズレベルと解の精度に関して鋭く、対称パラメータ化$XX^{T}$と非対称パラメータ化$UV^{T}$の両方をバランス正則化の下で保持する。

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