論文の概要: Kernel Two-Sample Tests for Manifold Data
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2105.03425v4
- Date: Mon, 26 Feb 2024 18:36:46 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-02-29 01:33:00.134490
- Title: Kernel Two-Sample Tests for Manifold Data
- Title（参考訳）: 多様体データのカーネル2サンプルテスト
- Authors: Xiuyuan Cheng, Yao Xie
- Abstract要約: 本稿では, 最大平均離散性(MMD)に関連するカーネルベースの2サンプルテスト統計を, 多様体データ設定で提示する。
本稿では, カーネル帯域幅, サンプル数, 多様体の内在的次元性に関して, テストレベルとパワーを特徴付ける。
この結果は,低次元多様体上あるいは近傍にデータを置く場合,カーネルの2サンプルテストは,ストローク・オブ・次元性を持たないことを示唆している。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 22.09364630430699
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We present a study of a kernel-based two-sample test statistic related to the
Maximum Mean Discrepancy (MMD) in the manifold data setting, assuming that
high-dimensional observations are close to a low-dimensional manifold. We
characterize the test level and power in relation to the kernel bandwidth, the
number of samples, and the intrinsic dimensionality of the manifold.
Specifically, when data densities $p$ and $q$ are supported on a
$d$-dimensional sub-manifold ${M}$ embedded in an $m$-dimensional space and are
H\"older with order $\beta$ (up to 2) on ${M}$, we prove a guarantee of the
test power for finite sample size $n$ that exceeds a threshold depending on
$d$, $\beta$, and $\Delta_2$ the squared $L^2$-divergence between $p$ and $q$
on the manifold, and with a properly chosen kernel bandwidth $\gamma$. For
small density departures, we show that with large $n$ they can be detected by
the kernel test when $\Delta_2$ is greater than $n^{- { 2 \beta/( d + 4 \beta )
}}$ up to a certain constant and $\gamma$ scales as $n^{-1/(d+4\beta)}$. The
analysis extends to cases where the manifold has a boundary and the data
samples contain high-dimensional additive noise. Our results indicate that the
kernel two-sample test has no curse-of-dimensionality when the data lie on or
near a low-dimensional manifold. We validate our theory and the properties of
the kernel test for manifold data through a series of numerical experiments.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,高次元の観測が低次元の多様体に近いことを前提として,最大平均離散性(MMD)に関連するカーネルベースの2サンプルテスト統計量について述べる。
本稿では, カーネル帯域幅, サンプル数, 多様体の内在的次元性に関して, テストレベルとパワーを特徴付ける。
具体的には、データ密度 $p$ と $q$ が $m$-次元空間に埋め込まれた$d$-dimensional sub-manifold ${m}$ でサポートされ、${m}$ で$\beta$ (up to 2) のオーダーで h\"older であるとき、有限サンプルサイズ $n$ に対するテストパワーの保証が $d$, $\beta$, $\delta_2$ 多様体上の$l^2$-divergence と $p$ と $q$ と、適切に選択されたカーネル帯域 $\gamma$ で証明される。
小さな密度のずれに対して、$\Delta_2$ が $n^{- { 2 \beta/(d + 4 \beta ) }} より大きいときのカーネルテストにより、$n$ で検出できることを示し、$\gamma$ scales as $n^{-1/(d+4\beta)}$である。
解析は多様体が境界を持ち、データサンプルが高次元の付加ノイズを含む場合にまで拡張される。
この結果は,低次元多様体上あるいは近傍にデータを置く場合,カーネルの2サンプルテストは,ストローク・オブ・次元性を持たないことを示す。
我々は, 数値実験により, 多様体データに対するカーネルテストの理論と特性を検証した。
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