論文の概要: Non-Parametric Estimation of Manifolds from Noisy Data

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2105.04754v1
• Date: Tue, 11 May 2021 02:29:33 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-05-12 13:44:19.492342
• Title: Non-Parametric Estimation of Manifolds from Noisy Data
• Title（参考訳）: 雑音データによるマニフォールドの非パラメトリック推定
• Authors: Yariv Aizenbud and Barak Sober
• Abstract要約: ノイズの多いサンプルの有限集合から$mathbbRD$の$d$次元部分多様体を推定する問題を検討する。 点推定では$n-frack2k + d$、接空間の推定では$n-frack-12k + d$の収束率を推定する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.0152838128195467
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: A common observation in data-driven applications is that high dimensional data has a low intrinsic dimension, at least locally. In this work, we consider the problem of estimating a $d$ dimensional sub-manifold of $\mathbb{R}^D$ from a finite set of noisy samples. Assuming that the data was sampled uniformly from a tubular neighborhood of $\mathcal{M}\in \mathcal{C}^k$, a compact manifold without boundary, we present an algorithm that takes a point $r$ from the tubular neighborhood and outputs $\hat p_n\in \mathbb{R}^D$, and $\widehat{T_{\hat p_n}\mathcal{M}}$ an element in the Grassmanian $Gr(d, D)$. We prove that as the number of samples $n\to\infty$ the point $\hat p_n$ converges to $p\in \mathcal{M}$ and $\widehat{T_{\hat p_n}\mathcal{M}}$ converges to $T_p\mathcal{M}$ (the tangent space at that point) with high probability. Furthermore, we show that the estimation yields asymptotic rates of convergence of $n^{-\frac{k}{2k + d}}$ for the point estimation and $n^{-\frac{k-1}{2k + d}}$ for the estimation of the tangent space. These rates are known to be optimal for the case of function estimation.
• Abstract（参考訳）: データ駆動アプリケーションにおける一般的な観察は、高次元データは、少なくとも局所的に、内在次元が低いことである。 本研究では,有限個の雑音サンプルから$\mathbb{R}^D$の$d$次元部分多様体を推定する問題を考察する。 このデータが境界のないコンパクト多様体である$\mathcal{M}\in \mathcal{C}^k$ の管状近傍から一様にサンプリングされたと仮定すると、その管状近傍から点 $r$ を取り出して $\hat p_n\in \mathbb{R}^D$ と $\widehat{T_{\hat p_n}\mathcal{M}} を出力するアルゴリズムを示す。 サンプル数$n\to\infty$ が点 $\hat p_n$ が $p\in \mathcal{M}$ と $\widehat{T_{\hat p_n}\mathcal{M}}$ に収束すると、高い確率で $T_p\mathcal{M}$ に収束することが証明される。 さらに、この推定は点推定に対して$n^{-\frac{k}{2k + d}}$、接空間の推定に対して$n^{-\frac{k-1}{2k + d}}$という漸近的な収束率が得られることを示す。 これらの速度は関数推定に最適であることが知られている。

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