#### 論文の概要: Submodular + Concave

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2106.04769v1
• Date: Wed, 9 Jun 2021 01:59:55 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-06-11 07:52:53.692888
• Title: Submodular + Concave
• Title（参考訳）: Submodular + Concave
• Authors: Siddharth Mitra, Moran Feldman, Amin Karbasi
• Abstract要約: 第一次最適化法が凹関数の最大目的値に収束できることはよく確立されている。 本研究では、滑らかな函数凸体(英語版)の行列式を\$F(x) = G(x) +C(x)\$で始める。 このクラスの函数は、保証がないような凹凸函数と連続DR-部分モジュラ函数の両方の拡張である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 53.208470310734825
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: It has been well established that first order optimization methods can converge to the maximal objective value of concave functions and provide constant factor approximation guarantees for (non-convex/non-concave) continuous submodular functions. In this work, we initiate the study of the maximization of functions of the form \$F(x) = G(x) +C(x)\$ over a solvable convex body \$P\$, where \$G\$ is a smooth DR-submodular function and \$C\$ is a smooth concave function. This class of functions is a strict extension of both concave and continuous DR-submodular functions for which no theoretical guarantee is known. We provide a suite of Frank-Wolfe style algorithms, which, depending on the nature of the objective function (i.e., if \$G\$ and \$C\$ are monotone or not, and non-negative or not) and on the nature of the set \$P\$ (i.e., whether it is downward closed or not), provide \$1-1/e\$, \$1/e\$, or \$1/2\$ approximation guarantees. We then use our algorithms to get a framework to smoothly interpolate between choosing a diverse set of elements from a given ground set (corresponding to the mode of a determinantal point process) and choosing a clustered set of elements (corresponding to the maxima of a suitable concave function). Additionally, we apply our algorithms to various functions in the above class (DR-submodular + concave) in both constrained and unconstrained settings, and show that our algorithms consistently outperform natural baselines.
• Abstract（参考訳）: 一階最適化法が凸関数の最大目的値に収束し、(非凸/非凸)連続部分モジュラ函数に対する定数因子近似の保証を提供できることはよく確立されている。 本研究では, 可解凸体上での\$f(x) = g(x) +c(x)\$ の関数の最大化の研究を開始する。ここでは\$g\$ は滑らかな dr-サブモジュラー関数であり、\$c\$ は滑らかな凸関数である。 このクラスの函数は、理論的な保証がないような凹凸および連続DR-部分モジュラ函数の厳密な拡張である。 目的関数の性質(例えば\$G\$ と \$C\$ が単調か非負か)と集合 \$P\$ の性質(下向きの閉か否かに関わらず)により、1-1/e\$, \$1/e\$, \$1/2\$ の近似保証を提供するフランク・ウルフ型アルゴリズムのスイートを提供する。 次に、我々のアルゴリズムを用いて、与えられた基底集合から多様な要素の選択(決定点過程のモードに対応する)とクラスタ化された要素のセットの選択(適切な凹凸関数の最大値に対応する)を円滑に補間するフレームワークを得る。 さらに, 制約条件と制約条件の両方で, 上記のクラス(DR-submodular + concave)の様々な関数にアルゴリズムを適用し, アルゴリズムが自然ベースラインを一貫して上回ることを示す。

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