論文の概要: Chi-square and normal inference in high-dimensional multi-task regression

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2107.07828v1
• Date: Fri, 16 Jul 2021 11:19:49 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-07-19 19:40:30.633297
• Title: Chi-square and normal inference in high-dimensional multi-task regression
• Title（参考訳）: 高次元マルチタスク回帰におけるchi-squareと正規推論
• Authors: Pierre C Bellec, Gabriel Romon
• Abstract要約: 本稿では,Multi-Task(MT)線形モデルにおける未知の係数行列$B*$サイズ$ptimes T$に対するカイ二乗法および正規手法を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 7.310043452300736
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: The paper proposes chi-square and normal inference methodologies for the unknown coefficient matrix $B^*$ of size $p\times T$ in a Multi-Task (MT) linear model with $p$ covariates, $T$ tasks and $n$ observations under a row-sparse assumption on $B^*$. The row-sparsity $s$, dimension $p$ and number of tasks $T$ are allowed to grow with $n$. In the high-dimensional regime $p\ggg n$, in order to leverage row-sparsity, the MT Lasso is considered. We build upon the MT Lasso with a de-biasing scheme to correct for the bias induced by the penalty. This scheme requires the introduction of a new data-driven object, coined the interaction matrix, that captures effective correlations between noise vector and residuals on different tasks. This matrix is psd, of size $T\times T$ and can be computed efficiently. The interaction matrix lets us derive asymptotic normal and $\chi^2_T$ results under Gaussian design and $\frac{sT+s\log(p/s)}{n}\to0$ which corresponds to consistency in Frobenius norm. These asymptotic distribution results yield valid confidence intervals for single entries of $B^*$ and valid confidence ellipsoids for single rows of $B^*$, for both known and unknown design covariance $\Sigma$. While previous proposals in grouped-variables regression require row-sparsity $s\lesssim\sqrt n$ up to constants depending on $T$ and logarithmic factors in $n,p$, the de-biasing scheme using the interaction matrix provides confidence intervals and $\chi^2_T$ confidence ellipsoids under the conditions ${\min(T^2,\log^8p)}/{n}\to 0$ and $$ \frac{sT+s\log(p/s)+\|\Sigma^{-1}e_j\|_0\log p}{n}\to0, \quad \frac{\min(s,\|\Sigma^{-1}e_j\|_0)}{\sqrt n} \sqrt{[T+\log(p/s)]\log p}\to 0, $$ allowing row-sparsity $s\ggg\sqrt n$ when $\|\Sigma^{-1}e_j\|_0 \sqrt T\lll \sqrt{n}$ up to logarithmic factors.
• Abstract（参考訳）: 本論文は,マルチタスク(mt)線形モデルにおける未知係数行列 $b^*$ of size $p\times t$,$p$ covariates, $t$ tasks, $n$ observations に対するchi-squareおよび正規推定手法を提案する。 row-sparsity $s$, dimension $p$, and number of tasks $t$は$n$で成長することができる。 高次元のレジーム $p\ggg n$ では、行スパーシティを活用するために MT Lasso を考える。 我々は、刑罰によって引き起こされる偏見を正すため、脱バイアス方式でMTラッソの上に構築する。 このスキームでは、異なるタスクにおけるノイズベクトルと残差の効果的な相関をキャプチャする、相互作用行列と呼ばれる新しいデータ駆動オブジェクトを導入する必要がある。 この行列は psd で、$T\times T$ であり、効率的に計算できる。 相互作用行列は、ガウス設計の下での漸近正規と$\chi^2_T$の結果とフロベニウスノルムの一貫性に対応する$\frac{sT+s\log(p/s)}{n}\to0$を導出する。 これらの漸近分布の結果は、単一のエントリに対して$B^*$と、既知の設計共分散に対して$B^*$の単一行に対して有効な信頼楕円体に対して$Sigma$である。 While previous proposals in grouped-variables regression require row-sparsity $s\lesssim\sqrt n$ up to constants depending on $T$ and logarithmic factors in $n,p$, the de-biasing scheme using the interaction matrix provides confidence intervals and $\chi^2_T$ confidence ellipsoids under the conditions ${\min(T^2,\log^8p)}/{n}\to 0$ and $$ \frac{sT+s\log(p/s)+\|\Sigma^{-1}e_j\|_0\log p}{n}\to0, \quad \frac{\min(s,\|\Sigma^{-1}e_j\|_0)}{\sqrt n} \sqrt{[T+\log(p/s)]\log p}\to 0, $$ allowing row-sparsity $s\ggg\sqrt n$ when $\|\Sigma^{-1}e_j\|_0 \sqrt T\lll \sqrt{n}$ up to logarithmic factors.

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