論文の概要: Optimization on manifolds: A symplectic approach

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2107.11231v1
• Date: Fri, 23 Jul 2021 13:43:34 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-07-26 14:14:53.511844
• Title: Optimization on manifolds: A symplectic approach
• Title（参考訳）: 多様体上の最適化:シンプレクティックアプローチ
• Authors: Guilherme Fran\c{c}a, Alessandro Barp, Mark Girolami, Michael I. Jordan
• Abstract要約: 本稿では,散逸性および制約付きハミルトン系の枠組みを提案する。 我々はシンプレクティック積分を用いて「レートマッチング」散逸収束保証を導出する。 実装が容易な跳躍フロッグの散逸一般化を2つ構築する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 128.00775964018752
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: There has been great interest in using tools from dynamical systems and numerical analysis of differential equations to understand and construct new optimization methods. In particular, recently a new paradigm has emerged that applies ideas from mechanics and geometric integration to obtain accelerated optimization methods on Euclidean spaces. This has important consequences given that accelerated methods are the workhorses behind many machine learning applications. In this paper we build upon these advances and propose a framework for dissipative and constrained Hamiltonian systems that is suitable for solving optimization problems on arbitrary smooth manifolds. Importantly, this allows us to leverage the well-established theory of symplectic integration to derive "rate-matching" dissipative integrators. This brings a new perspective to optimization on manifolds whereby convergence guarantees follow by construction from classical arguments in symplectic geometry and backward error analysis. Moreover, we construct two dissipative generalizations of leapfrog that are straightforward to implement: one for Lie groups and homogeneous spaces, that relies on the tractable geodesic flow or a retraction thereof, and the other for constrained submanifolds that is based on a dissipative generalization of the famous RATTLE integrator.
• Abstract（参考訳）: 動的システムからのツールの使用や微分方程式の数値解析による新しい最適化手法の理解と構築に大きな関心が寄せられている。 特に近年、ユークリッド空間上の加速最適化法を得るために力学と幾何積分のアイデアを適用する新しいパラダイムが出現している。 高速化メソッドが多くの機械学習アプリケーションを支えるワークホースであることを考えると、これは重要な結果となる。 本稿では, 任意の滑らかな多様体上での最適化問題を解くのに適した, 散逸的かつ制約的ハミルトニアン系の枠組みを提案する。 重要なことに、このことはシンプレクティック積分の確立された理論を利用して「レートマッチング」散逸積分子を導出することができる。 このことは多様体上の最適化の新しい視点をもたらし、収束保証はシンプレクティック幾何や後方誤差解析における古典的議論から導かれる。 さらに, 抽出可能な測地流や退化に依存するリー群と同次空間, 有名なRATTLE積分器の散逸一般化に基づく制約付き部分多様体の2つの散逸的一般化を構築した。

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