論文の概要: Nonlinear matrix recovery using optimization on the Grassmann manifold

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2109.06095v1
• Date: Mon, 13 Sep 2021 16:13:13 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-09-14 19:46:04.790293
• Title: Nonlinear matrix recovery using optimization on the Grassmann manifold
• Title（参考訳）: グラスマン多様体上の最適化を用いた非線形行列回復
• Authors: Florentin Goyens and Coralia Cartis and Armin Eftekhari
• Abstract要約: 本研究では,列が部分空間の結合などの非線形構造に従う部分観測された高階クラスタリング行列の復元問題について検討する。 交代極限はクルディカ・ロジャシ性質を用いて一意点に収束することを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 18.655422834567577
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We investigate the problem of recovering a partially observed high-rank matrix whose columns obey a nonlinear structure such as a union of subspaces, an algebraic variety or grouped in clusters. The recovery problem is formulated as the rank minimization of a nonlinear feature map applied to the original matrix, which is then further approximated by a constrained non-convex optimization problem involving the Grassmann manifold. We propose two sets of algorithms, one arising from Riemannian optimization and the other as an alternating minimization scheme, both of which include first- and second-order variants. Both sets of algorithms have theoretical guarantees. In particular, for the alternating minimization, we establish global convergence and worst-case complexity bounds. Additionally, using the Kurdyka-Lojasiewicz property, we show that the alternating minimization converges to a unique limit point. We provide extensive numerical results for the recovery of union of subspaces and clustering under entry sampling and dense Gaussian sampling. Our methods are competitive with existing approaches and, in particular, high accuracy is achieved in the recovery using Riemannian second-order methods.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,列が部分空間の和,代数多様体,あるいはクラスタにグループ化されるような非線形構造に従う部分観察された高階行列を復元する問題を考察する。 回復問題は元の行列に適用された非線形特徴写像のランク最小化として定式化され、グラスマン多様体を含む制約付き非凸最適化問題によりさらに近似される。 我々は、リーマン最適化から生じる2つのアルゴリズムと、交互最小化スキームとして2つのアルゴリズムを提案し、どちらも一階と二階のバリエーションを含む。 どちらのアルゴリズムも理論的保証がある。 特に、交代最小化に対しては、大域収束と最悪の複雑性境界を確立する。 さらに、クルディカ・ロジャシエヴィチ性質を用いて、交互化最小化が一意の極限点に収束することを示す。 入射サンプリングおよび高密度ガウスサンプリングによる部分空間の結合とクラスタリングの回復に関する広範な数値結果を提供する。 我々の手法は既存の手法と競合し、特にリーマン二階法による回復において高い精度を達成する。

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