論文の概要: Generalisations and improvements of New Q-Newton's method Backtracking

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2109.11395v1
• Date: Thu, 23 Sep 2021 14:28:15 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-09-24 14:44:21.920580
• Title: Generalisations and improvements of New Q-Newton's method Backtracking
• Title（参考訳）: 新しいQ-Newton法バックトラックの一般化と改善
• Authors: Tuyen Trung Truong
• Abstract要約: 本稿では,新しいQ-Newtonの手法のバックトラッキングのための一般的なフレームワークを提案する。 例えば、1$ または $e_m(x)$'s は必ずしも $nabla 2f(x)$ の固有ベクトルではない。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: In this paper, we propose a general framework for the algorithm New Q-Newton's method Backtracking, developed in the author's previous work. For a symmetric, square real matrix $A$, we define $minsp(A):=\min _{||e||=1} ||Ae||$. Given a $C^2$ cost function $f:\mathbb{R}^m\rightarrow \mathbb{R}$ and a real number $0<\tau $, as well as $m+1$ fixed real numbers $\delta _0,\ldots ,\delta _m$, we define for each $x\in \mathbb{R}^m$ with $\nabla f(x)\not= 0$ the following quantities: $\kappa :=\min _{i\not= j}|\delta _i-\delta _j|$; $A(x):=\nabla ^2f(x)+\delta ||\nabla f(x)||^{\tau}Id$, where $\delta$ is the first element in the sequence $\{\delta _0,\ldots ,\delta _m\}$ for which $minsp(A(x))\geq \kappa ||\nabla f(x)||^{\tau}$; $e_1(x),\ldots ,e_m(x)$ are an orthonormal basis of $\mathbb{R}^m$, chosen appropriately; $w(x)=$ the step direction, given by the formula: $$w(x)=\sum _{i=1}^m\frac{<\nabla f(x),e_i(x)>}{||A(x)e_i(x)||}e_i(x);$$ (we can also normalise by $w(x)/\max \{1,||w(x)||\}$ when needed) $\gamma (x)>0$ learning rate chosen by Backtracking line search so that Armijo's condition is satisfied: $$f(x-\gamma (x)w(x))-f(x)\leq -\frac{1}{3}\gamma (x)<\nabla f(x),w(x)>.$$ The update rule for our algorithm is $x\mapsto H(x)=x-\gamma (x)w(x)$. In New Q-Newton's method Backtracking, the choices are $\tau =1+\alpha >1$ and $e_1(x),\ldots ,e_m(x)$'s are eigenvectors of $\nabla ^2f(x)$. In this paper, we allow more flexibility and generality, for example $\tau$ can be chosen to be $<1$ or $e_1(x),\ldots ,e_m(x)$'s are not necessarily eigenvectors of $\nabla ^2f(x)$. New Q-Newton's method Backtracking (as well as Backtracking gradient descent) is a special case, and some versions have flavours of quasi-Newton's methods. Several versions allow good theoretical guarantees. An application to solving systems of polynomial equations is given.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,著者の先行研究で開発された新しいq-newton法バックトラッキングアルゴリズムの汎用フレームワークを提案する。 対称な正方行列 $A$ に対して、$minsp(A):=\min _{||e||=1} ||Ae||$ を定義する。 Given a $C^2$ cost function $f:\mathbb{R}^m\rightarrow \mathbb{R}$ and a real number $0<\tau $, as well as $m+1$ fixed real numbers $\delta _0,\ldots ,\delta _m$, we define for each $x\in \mathbb{R}^m$ with $\nabla f(x)\not= 0$ the following quantities: $\kappa :=\min _{i\not= j}|\delta _i-\delta _j|$; $A(x):=\nabla ^2f(x)+\delta ||\nabla f(x)||^{\tau}Id$, where $\delta$ is the first element in the sequence $\{\delta _0,\ldots ,\delta _m\}$ for which $minsp(A(x))\geq \kappa ||\nabla f(x)||^{\tau}$; $e_1(x),\ldots ,e_m(x)$ are an orthonormal basis of $\mathbb{R}^m$, chosen appropriately; $w(x)=$ the step direction, given by the formula: $$w(x)=\sum _{i=1}^m\frac{<\nabla f(x),e_i(x)>}{||A(x)e_i(x)||}e_i(x);$$ (we can also normalise by $w(x)/\max \{1,||w(x)||\}$ when needed) $\gamma (x)>0$ learning rate chosen by Backtracking line search so that Armijo's condition is satisfied: $$f(x-\gamma (x)w(x))-f(x)\leq -\frac{1}{3}\gamma (x)<\nabla f(x),w(x)>. $$ 我々のアルゴリズムの更新ルールは$x\mapsto H(x)=x-\gamma (x)w(x)$である。 new q-newton's method backtrackingでは、$\tau =1+\alpha >1$と$e_1(x),\ldots ,e_m(x)$'sは$\nabla ^2f(x)$の固有ベクトルである。 例えば、$\tau$ は $<1$ または $e_1(x),\ldots ,e_m(x)$'s は必ずしも $\nabla ^2f(x)$ の固有ベクトルではない。 新しいQ-ニュートン法(バックトラック勾配降下法)は特別な場合であり、いくつかのバージョンは準ニュートン法の風味を持つ。 いくつかのバージョンでは理論上の保証が良い。 多項式方程式の解系への応用が与えられる。

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