論文の概要: Algorithms for Discrepancy, Matchings, and Approximations: Fast, Simple,
and Practical
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2209.01147v1
- Date: Fri, 2 Sep 2022 15:59:09 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2022-09-05 12:22:52.497055
- Title: Algorithms for Discrepancy, Matchings, and Approximations: Fast, Simple,
and Practical
- Title（参考訳）: 離散性、マッチング、近似のためのアルゴリズム:高速、シンプル、実用的
- Authors: M\'onika Csik\'os and Nabil H. Mustafa
- Abstract要約: 有限集合系 $(X,mathcal S)$ が与えられたとき、2色の $chi:Xto-1,1$ は数学的な S|chi(S)|$ において $max_S として定義される。
我々は、任意の$d>0$と$(X,mathcal S)$に対して、二重シャッター関数 $pi*(k)=O(kd)$ のランダム化アルゴリズムを提案する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.2183405753834562
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We study one of the key tools in data approximation and optimization:
low-discrepancy colorings. Formally, given a finite set system $(X,\mathcal
S)$, the \emph{discrepancy} of a two-coloring $\chi:X\to\{-1,1\}$ is defined as
$\max_{S \in \mathcal S}|{\chi(S)}|$, where $\chi(S)=\sum\limits_{x \in
S}\chi(x)$.
We propose a randomized algorithm which, for any $d>0$ and $(X,\mathcal S)$
with dual shatter function $\pi^*(k)=O(k^d)$, returns a coloring with expected
discrepancy $O\left({\sqrt{|X|^{1-1/d}\log|\mathcal S|}}\right)$ (this bound is
tight) in time $\tilde O\left({|\mathcal S|\cdot|X|^{1/d}+|X|^{2+1/d}}\right)$,
improving upon the previous-best time of $O\left(|\mathcal S|\cdot|X|^3\right)$
by at least a factor of $|X|^{2-1/d}$ when $|\mathcal S|\geq|X|$. This setup
includes many geometric classes, families of bounded dual VC-dimension, and
others. As an immediate consequence, we obtain an improved algorithm to
construct $\varepsilon$-approximations of sub-quadratic size.
Our method uses primal-dual reweighing with an improved analysis of randomly
updated weights and exploits the structural properties of the set system via
matchings with low crossing number -- a fundamental structure in computational
geometry. In particular, we get the same $|X|^{2-1/d}$ factor speed-up on the
construction time of matchings with crossing number
$O\left({|X|^{1-1/d}}\right)$, which is the first improvement since the 1980s.
The proposed algorithms are very simple, which makes it possible, for the
first time, to compute colorings with near-optimal discrepancies and
near-optimal sized approximations for abstract and geometric set systems in
dimensions higher than $2$.
- Abstract（参考訳）: データ近似と最適化における重要なツールの1つについて研究した。
形式的には、有限集合系 $(x,\mathcal s)$ が与えられると、2色付き$\chi:x\to\{-1,1\}$ の \emph{discrepancy} は $\max_{s \in \mathcal s}|{\chi(s)}|$ と定義され、ここで $\chi(s)=\sum\limits_{x \in s}\chi(x)$ となる。
任意の$d>0$と$(X,\mathcal S)$に対して、2重シャッター関数を持つ$\pi^*(k)=O(k^d)$に対して、期待された離散性を持つ色付けを$O\left({\sqrt{|X|^{1-1/d}\log|\mathcal S|}}\right)$(この境界はきつい)$$\tilde O\left({|\mathcal S|\cdot|X|^{1/d}+|X|^{2+1/d}}\right)$$O\left(|\mathcal S|\cdot|X|3\right)$で返します。
このセットアップには、多くの幾何学クラス、有界双対VC次元の族などが含まれる。
即ち、我々は$\varepsilon$-approximations of sub-quadratic sizeを構築するための改良されたアルゴリズムを得る。
提案手法では,ランダムに更新された重みの解析を改良し,低交叉数との整合性(計算幾何学の基本構造)を生かして,集合系の構造特性を利用する。
特に、交差数 $o\left({|x|^{1-1/d}}\right)$ とのマッチングの構成時間において、同じ $|x|^{2-1/d}$ factor speed-up が得られる。
提案したアルゴリズムは非常に単純で、初めて2ドル以上の次元の抽象的および幾何学的集合系に対して、ほぼ最適の相違と近似に近い大きさの彩色を計算することができる。
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