論文の概要: On quantitative Laplace-type convergence results for some exponential
probability measures, with two applications
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2110.12922v1
- Date: Mon, 25 Oct 2021 13:00:25 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2021-10-26 21:42:25.388672
- Title: On quantitative Laplace-type convergence results for some exponential
probability measures, with two applications
- Title（参考訳）: 指数的確率測度に対する定量的ラプラス型収束結果と2つの応用について
- Authors: Valentin De Bortoli, Agn\`es Desolneux
- Abstract要約: 密度 w.r.t ルベーグ測度 $(mathrmd pi_varepsilon)_varepsilon >0$ ルベーグ測度 $(mathrmd pi_varepsilon)_varepsilon >0$ ルベーグ測度 $(mathrmd pi_varepsilon)_varepsilon >0$ ルベーグ測度 $(mathrmd pi_varepsilon)_varepsilon >0$ ルベーグ測度 $(mathrmd)
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.9189409618561966
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Laplace-type results characterize the limit of sequence of measures
$(\pi_\varepsilon)_{\varepsilon >0}$ with density w.r.t the Lebesgue measure
$(\mathrm{d} \pi_\varepsilon / \mathrm{d} \mathrm{Leb})(x) \propto
\exp[-U(x)/\varepsilon]$ when the temperature $\varepsilon>0$ converges to $0$.
If a limiting distribution $\pi_0$ exists, it concentrates on the minimizers of
the potential $U$. Classical results require the invertibility of the Hessian
of $U$ in order to establish such asymptotics. In this work, we study the
particular case of norm-like potentials $U$ and establish quantitative bounds
between $\pi_\varepsilon$ and $\pi_0$ w.r.t. the Wasserstein distance of order
$1$ under an invertibility condition of a generalized Jacobian. One key element
of our proof is the use of geometric measure theory tools such as the coarea
formula. We apply our results to the study of maximum entropy models
(microcanonical/macrocanonical distributions) and to the convergence of the
iterates of the Stochastic Gradient Langevin Dynamics (SGLD) algorithm at low
temperatures for non-convex minimization.
- Abstract（参考訳）: laplace-typeの結果は、密度 w.r.t を持つ測度の列の極限である $(\pi_\varepsilon)_{\varepsilon >0}$ を特徴づける: ルベーグ測度 $(\mathrm{d} \pi_\varepsilon / \mathrm{d} \mathrm{leb})(x) \propto \exp[-u(x)/\varepsilon]$ 温度 $\varepsilon>0$ が 0$ に収束するとき、ルベーグ測度 $(\mathrm{d} \pi_\varepsilon / \mathrm{d} \mathrm{leb})(x) \propto \exp[-u(x)/\varepsilon]$。
制限分布 $\pi_0$ が存在するなら、潜在的$U$ の最小値に集中する。
古典的な結果は、そのような漸近性を確立するために$U$のヘッセンの可逆性を必要とする。
本研究では、ノルム様ポテンシャルの特定の場合である u$ について検討し、一般化ヤコビアンの可逆条件下でのワッサーシュタイン距離が 1 であるような $\pi_\varepsilon$ と $\pi_0$ w.r.t の間の定量的境界を確立する。
我々の証明の鍵となる要素は、コーリア式のような幾何測度理論ツールを使うことである。
本研究は, 極大エントロピーモデル(ミクロカノニカル/マクロカノニカル分布)の研究と, 非凸最小化のための低温における確率勾配ランジュバンダイナミクス(sgld)アルゴリズムのイテレートの収束に応用する。
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