論文の概要: The ODE Method for Asymptotic Statistics in Stochastic Approximation and
Reinforcement Learning
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2110.14427v3
- Date: Sun, 18 Jun 2023 18:11:56 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-06-22 06:36:26.676688
- Title: The ODE Method for Asymptotic Statistics in Stochastic Approximation and
Reinforcement Learning
- Title（参考訳）: 確率近似と強化学習における漸近統計量のODE法
- Authors: Vivek Borkar, Shuhang Chen, Adithya Devraj, Ioannis Kontoyiannis and
Sean Meyn
- Abstract要約: この論文は、$d$-dimensional approximation recursion, $$theta_n+1=theta_n + alpha_n + 1 f(theta_n, Phi_n+1) $$ in ここで$Phi$は、一般的な状態空間上の幾何学的にエルゴード的なマルコフ連鎖である。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.92974337901767
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: The paper concerns the $d$-dimensional stochastic approximation recursion, $$
\theta_{n+1}= \theta_n + \alpha_{n + 1} f(\theta_n, \Phi_{n+1}) $$ in which
$\Phi$ is a geometrically ergodic Markov chain on a general state space
$\textsf{X}$ with stationary distribution $\pi$, and
$f:\Re^d\times\textsf{X}\to\Re^d$.
The main results are established under a version of the Donsker-Varadhan
Lyapunov drift condition known as (DV3), and a stability condition for the mean
flow with vector field $\bar{f}(\theta)=\textsf{E}[f(\theta,\Phi)]$, with
$\Phi\sim\pi$.
(i) $\{ \theta_n\}$ is convergent a.s. and in $L_4$ to the unique root
$\theta^*$ of $\bar{f}(\theta)$.
(ii) A functional CLT is established, as well as the usual one-dimensional
CLT for the normalized error.
(iii) The CLT holds for the normalized version, $z_n{=:} \sqrt{n}
(\theta^{\text{PR}}_n -\theta^*)$, of the averaged parameters,
$\theta^{\text{PR}}_n {=:} n^{-1} \sum_{k=1}^n\theta_k$, subject to standard
assumptions on the step-size. Moreover, the normalized covariance converges, $$
\lim_{n \to \infty} n \textsf{E} [ {\widetilde{\theta}}^{\text{ PR}}_n
({\widetilde{\theta}}^{\text{ PR}}_n)^T ] = \Sigma_\theta^*,\;\;\;\textit{with
$\widetilde{\theta}^{\text{ PR}}_n = \theta^{\text{ PR}}_n -\theta^*$,}
$$ where $\Sigma_\theta^*$ is the minimal covariance of Polyak and Ruppert.
(iv) An example is given where $f$ and $\bar{f}$ are linear in $\theta$, and
the Markov chain $\Phi$ is geometrically ergodic but does not satisfy (DV3).
While the algorithm is convergent, the second moment is unbounded: $ \textsf{E}
[ \| \theta_n \|^2 ] \to \infty$ as $n\to\infty$.
- Abstract（参考訳）: 論文は、$d$-dimensional stochastic approximation recursion、$$$ \theta_{n+1}= \theta_n + \alpha_{n + 1} f(\theta_n, \phi_{n+1}) $$、$\phi$は一般状態空間上の幾何学的エルゴードマルコフ連鎖である$\textsf{x}$、定常分布$\pi$、$f:\re^d\times\textsf{x}\to\re^d$である。
主な結果はDonsker-Varadhan Lyapunov ドリフト条件 (DV3) とベクトル場 $\bar{f}(\theta)=\textsf{E}[f(\theta,\Phi)]$, with $\Phi\sim\pi$ による平均流の安定性条件の下にある。
(i)$\{ \theta_n\}$ は収束 a.s. であり、$L_4$ は一意根 $\theta^*$ of $\bar{f}(\theta)$ に収束する。
(ii)正規化誤差に対する通常の1次元CLTと同様に関数型CLTが確立される。
(iii) CLT は正規化バージョン $z_n{=:} \sqrt{n} (\theta^{\text{PR}}_n -\theta^*)$, 平均化パラメータ $\theta^{\text{PR}}_n {=:} n^{-1} \sum_{k=1}^n\theta_k$ を、ステップサイズに関する標準的な仮定に従って保持する。
さらに、正規化された共分散は、$$ \lim_{n \to \infty} n \textsf{E} [ {\widetilde{\theta}}^{\text{ PR}}_n ({\widetilde{\theta}}^{\text{ PR}}_n)^T ] = \Sigma_\theta^*,\;\;\;\;\textit{with $\widetilde{\theta}^{\text{ PR}}_n = \theta^{\text{ PR}}_n -\theta^*$,} $$$$\Sigma_\theta^*$はポリアクとルパートの最小共分散である。
(iv) 例えば、$f$ と $\bar{f}$ が $\theta$ において線型であり、マルコフ連鎖 $\Phi$ は幾何学的にエルゴード的であるが満足しない(DV3)。
アルゴリズムは収束するが、第二モーメントは非有界である: $ \textsf{E} [ \| \theta_n \|^2 ] \to \infty$ as $n\to\infty$。
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