論文の概要: On the $O(\frac{\sqrt{d}}{T^{1/4}})$ Convergence Rate of RMSProp and Its Momentum Extension Measured by $\ell_1$ Norm

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2402.00389v3
• Date: Mon, 15 Apr 2024 13:07:28 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-04-16 22:28:15.117183
• Title: On the $O(\frac{\sqrt{d}}{T^{1/4}})$ Convergence Rate of RMSProp and Its Momentum Extension Measured by $\ell_1$ Norm
• Title（参考訳）: O(\frac{\sqrt{d}}{T^{1/4}})$RMSPropの収束率とそのモメンタム拡張について
• Authors: Huan Li, Zhouchen Lin,
• Abstract要約: 本稿では、RMSPropとその運動量拡張を考察し、$frac1Tsum_k=1Tの収束速度を確立する。 我々の収束率は、次元$d$を除くすべての係数に関して下界と一致する。 収束率は$frac1Tsum_k=1Tと類似していると考えられる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 59.65871549878937
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Although adaptive gradient methods have been extensively used in deep learning, their convergence rates proved in the literature are all slower than that of SGD, particularly with respect to their dependence on the dimension. This paper considers the classical RMSProp and its momentum extension and establishes the convergence rate of $\frac{1}{T}\sum_{k=1}^T E\left[\|\nabla f(x^k)\|_1\right]\leq O(\frac{\sqrt{d}C}{T^{1/4}})$ measured by $\ell_1$ norm without the bounded gradient assumption, where $d$ is the dimension of the optimization variable, $T$ is the iteration number, and $C$ is a constant identical to that appeared in the optimal convergence rate of SGD. Our convergence rate matches the lower bound with respect to all the coefficients except the dimension $d$. Since $\|x\|_2\ll\|x\|_1\leq\sqrt{d}\|x\|_2$ for problems with extremely large $d$, our convergence rate can be considered to be analogous to the $\frac{1}{T}\sum_{k=1}^T E\left[\|\nabla f(x^k)\|_2\right]\leq O(\frac{C}{T^{1/4}})$ rate of SGD in the ideal case of $\|\nabla f(x)\|_1=\varTheta(\sqrt{d}\|\nabla f(x)\|_2)$.
• Abstract（参考訳）: 適応的勾配法は深層学習において広く用いられているが、文献で証明された収束速度はSGDよりも遅く、特にその次元への依存に関して遅くなっている。 本稿では、古典的 RMSProp とその運動量拡大を考慮し、$\frac{1}{T}\sum_{k=1}^T E\left[\|\nabla f(x^k)\|_1\right]\leq O(\frac{\sqrt{d}C}{T^{1/4}})$ を有界勾配の仮定なしに$\ell_1$ノルムで測定し、$d$ は最適化変数の次元、$T$ は反復数、$C$ は SGD の最適収束率に現れる定数である。 我々の収束率は、次元$d$を除くすべての係数に関して下界と一致する。 $\|x\|_2\ll\|x\|_1\leq\sqrt{d}\|x\|_2$ が非常に大きな$d$ を持つ問題に対して与えられるので、我々の収束率は $\frac{1}{T}\sum_{k=1}^T E\left[\|\nabla f(x^k)\|_2\right]\leq O(\frac{C}{T^{1/4}})$ $\|\nabla f(x)\|_1=\varTheta(\sqrt{d}\|\nabla f(x)\|_2$$ に類似していると考えられる。

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