論文の概要: The ODE Method for Asymptotic Statistics in Stochastic Approximation and Reinforcement Learning

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2110.14427v6
• Date: Fri, 15 Nov 2024 13:34:34 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-11-19 14:26:19.455035
• Title: The ODE Method for Asymptotic Statistics in Stochastic Approximation and Reinforcement Learning
• Title（参考訳）: 確率近似と強化学習における漸近統計量のODE法
• Authors: Vivek Borkar, Shuhang Chen, Adithya Devraj, Ioannis Kontoyiannis, Sean Meyn,
• Abstract要約: この論文は$d$-dimensional recursion approximation, $$theta_n+1=theta_n + alpha_n + 1 f(theta_n, Phi_n+1)に関するものである。 主な結果は、ドスカー・バラダン・リャプノフドリフト条件(DV3)の平均流とバージョンに関する追加条件の下で確立される。 a example is given where $f$ and $barf$ are linear in $theta$, and $Phi$ is a geometryal.
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.8098187557917464
• License:
• Abstract: The paper concerns the $d$-dimensional stochastic approximation recursion, $$ \theta_{n+1}= \theta_n + \alpha_{n + 1} f(\theta_n, \Phi_{n+1}) $$ where $ \{ \Phi_n \}$ is a stochastic process on a general state space, satisfying a conditional Markov property that allows for parameter-dependent noise. The main results are established under additional conditions on the mean flow and a version of the Donsker-Varadhan Lyapunov drift condition known as (DV3): (i) An appropriate Lyapunov function is constructed that implies convergence of the estimates in $L_4$. (ii) A functional central limit theorem (CLT) is established, as well as the usual one-dimensional CLT for the normalized error. Moment bounds combined with the CLT imply convergence of the normalized covariance $\textsf{E}[ z_n z_n^T ]$ to the asymptotic covariance in the CLT, where $z_n =: (\theta_n-\theta^*)/\sqrt{\alpha_n}$. (iii) The CLT holds for the normalized version $z^{\text{PR}}_n =: \sqrt{n} [\theta^{\text{PR}}_n -\theta^*]$, of the averaged parameters $\theta^{\text{PR}}_n =:n^{-1} \sum_{k=1}^n\theta_k$, subject to standard assumptions on the step-size. Moreover, the covariance in the CLT coincides with the minimal covariance of Polyak and Ruppert. (iv) An example is given where $f$ and $\bar{f}$ are linear in $\theta$, and $\Phi$ is a geometrically ergodic Markov chain but does not satisfy (DV3). While the algorithm is convergent, the second moment of $\theta_n$ is unbounded and in fact diverges. This arXiv version represents a major extension of the results in prior versions.The main results now allow for parameter-dependent noise, as is often the case in applications to reinforcement learning.
• Abstract（参考訳）: この論文は、$d$-次元確率近似再帰、$$ \theta_{n+1}= \theta_n + \alpha_{n + 1} f(\theta_n, \Phi_{n+1})$$$ ここで$ \{ \Phi_n \}$は一般状態空間上の確率過程であり、パラメータ依存ノイズを許容する条件付きマルコフ特性を満たす。 主な結果は、ドスカー・バラダン・リャプノフドリフト条件(DV3)の平均流とバージョンに関する追加条件の下で確立される。 (i)$L_4$の見積もりの収束を意味する適切なリャプノフ函数が構成される。 (ii) 正規化誤差に対する通常の1次元CLTと同様に機能中心極限定理(CLT)が確立される。 モーメント境界と CLT との結合は、正規化された共分散 $\textsf{E}[ z_n z_n^T ]$ を CLT の漸近共分散に収束させることを意味する。 (iii) CLT は、標準化された $z^{\text{PR}}_n =: \sqrt{n} [\theta^{\text{PR}}_n -\theta^*]$, 平均化されたパラメータ $\theta^{\text{PR}}_n =:n^{-1} \sum_{k=1}^n\theta_k$ を、ステップサイズに関する標準的な仮定に従って保持する。 さらに、CLTの共分散は、PolyakとRuppertの最小共分散と一致する。 (iv)例は、$f$と$\bar{f}$が$\theta$で線型であり、$\Phi$は幾何学的にエルゴード的なマルコフ連鎖であるが、満足しない(DV3)。 アルゴリズムは収束するが、$\theta_n$の第二モーメントは非有界であり、実際には分岐する。 このarXivバージョンは、以前のバージョンにおける結果の大きな拡張を表しており、主要な結果はパラメータ依存ノイズを許容している。

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