論文の概要: Intrinsic Dimension, Persistent Homology and Generalization in Neural
Networks
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2111.13171v1
- Date: Thu, 25 Nov 2021 17:06:15 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2021-11-29 14:23:19.211828
- Title: Intrinsic Dimension, Persistent Homology and Generalization in Neural
Networks
- Title（参考訳）: ニューラルネットワークにおける固有次元, 永続ホモロジー, 一般化
- Authors: Tolga Birdal, Aaron Lou, Leonidas Guibas, Umut \c{S}im\c{s}ekli
- Abstract要約: 一般化誤差は 'peristent homology dimension' (PHD) という概念で等価に有界であることを示す。
我々は,現代のディープニューラルネットワークの規模でPHDを推定する効率的なアルゴリズムを開発した。
実験の結果,提案手法はネットワークの固有次元を様々な設定で効率的に計算できることがわかった。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 19.99615698375829
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Disobeying the classical wisdom of statistical learning theory, modern deep
neural networks generalize well even though they typically contain millions of
parameters. Recently, it has been shown that the trajectories of iterative
optimization algorithms can possess fractal structures, and their
generalization error can be formally linked to the complexity of such fractals.
This complexity is measured by the fractal's intrinsic dimension, a quantity
usually much smaller than the number of parameters in the network. Even though
this perspective provides an explanation for why overparametrized networks
would not overfit, computing the intrinsic dimension (e.g., for monitoring
generalization during training) is a notoriously difficult task, where existing
methods typically fail even in moderate ambient dimensions. In this study, we
consider this problem from the lens of topological data analysis (TDA) and
develop a generic computational tool that is built on rigorous mathematical
foundations. By making a novel connection between learning theory and TDA, we
first illustrate that the generalization error can be equivalently bounded in
terms of a notion called the 'persistent homology dimension' (PHD), where,
compared with prior work, our approach does not require any additional
geometrical or statistical assumptions on the training dynamics. Then, by
utilizing recently established theoretical results and TDA tools, we develop an
efficient algorithm to estimate PHD in the scale of modern deep neural networks
and further provide visualization tools to help understand generalization in
deep learning. Our experiments show that the proposed approach can efficiently
compute a network's intrinsic dimension in a variety of settings, which is
predictive of the generalization error.
- Abstract（参考訳）: 統計学習理論の古典的な知恵に反し、現代のディープニューラルネットワークは、通常数百万のパラメータを含むにもかかわらず、よく一般化される。
近年、反復最適化アルゴリズムの軌道はフラクタル構造を持ち、それらの一般化誤差はそのようなフラクタルの複雑さと公式に結びつくことが示されている。
この複雑さはフラクタルの固有次元によって測定され、ネットワーク内のパラメータの数よりもはるかに小さい量である。
この観点は、過度にパラメータ化されたネットワークが過度に適合しない理由を説明するものであるが、本質的な次元(例えば、訓練中の一般化を監視すること)の計算は、通常、中程度の環境次元でも既存の手法が失敗する、非常に難しいタスクである。
本研究では,この問題を位相データ解析(tda)のレンズから考察し,厳密な数学的基礎に基づく汎用計算ツールを開発した。
学習理論とTDAの新たな結びつきによって、一般化誤差は「永続ホモロジー次元(Peristent homology dimension)」(PHD)という概念によって等価に境界づけられることを示した。
そして、最近確立された理論結果とTDAツールを利用して、現代の深層ニューラルネットワークの規模でPHDを推定する効率的なアルゴリズムを開発し、さらにディープラーニングの一般化を理解するための可視化ツールを提供する。
提案手法は,ネットワークの固有次元を様々な設定で効率的に計算し,一般化誤差を予測できることを示す。
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